Признак Даламбера

Теорема. Пусть для ряда с знакоположительными членами существует предел:

, (13.16)

тогда:

1. если , ряд сходится;

2. если , ряд расходится;

3. если , признак не дает ответ.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Обозначим , тогда .

Найдем отношение следующего члена ряда к предыдущему:

и возьмем его предел.

Получим: .

Таким образом, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

, .

Запишем отношение и найдем его предел:

.

Таким образом, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Обозначим , тогда .

Найдем отношение и возьмем его предел:

,

то есть по признаку Даламбера ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Теорема. Пусть для знакоположительного ряда существует предел: , (13.17)

тогда:

1) если , ряд сходится;

2) если , ряд расходится;

3) если , признак Коши не дает ответ о сходимости ряда.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Соответственно признаку Коши:

,

следовательно ряд сходится.

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

В соответствии с признаком Коши:

, то есть ряд расходится.

Интегральный признак Маклорена – Коши

Теорема. Пусть знакоположительный ряд, члены которого не возрастают, то есть , и пусть – непрерывная функция, такая что: , .

Тогда: если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ; если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд: , .

Решение.

Этот ряд называют рядом Дирихле, или обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши.

Вычислим интеграл:

.

Если данный интеграл является расходящимся.

Действительно, . Следовательно, ряд Дирихле сходящийся при и расходящийся при .

При ряд Дирихле называют гармоническим рядом:

Отметим, что ряд Дирихле, как и гармонический ряд, используют в признаке сравнения рядов как эталонный ряд, то есть ряд, о котором известно, сходится он или расходится.

Пример 15. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Используем интегральный признак Коши.

Пусть .

Тогда .

Таким образом, несобственный интеграл сходится. Следовательно, сходится и соответствующий ряд.

Лекция 14. Знакопеременные ряды.

14.1. Абсолютная и условная сходимость рядов

Знакопеременным называется ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда базируется на исследовании ряда, который составлен из абсолютных величин членов исходного ряда.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Пусть имеем знакопеременный ряд: ,

который является таким, что ряд, образованный из абсолютных величин его членов: ,

сходится. Тогда сходится и исходный ряд.

Этот признак является достаточным признаком сходимости, но не является необходимым. Существуют сходящиеся знакопеременные ряды, для которых ряды, которые составлены из абсолютных величин членов исходного ряда, являются расходящимися.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: .

Если данный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то он называется условно сходящимся.

Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда являются такими же, как и для сходимости ряда с положительными членами. Поэтому для исследования сходимости этого ряда можно использовать признаки сравнения, признак Даламбера или Коши.

Возникает вопрос, как исследовать сходимость знакопеременного ряда, который имеет бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. В этом случае используем теорему, которая является признаком абсолютной сходимости ряда. С ее помощью исследование сходимости знакопеременного ряда сводится к исследованию знакоположительного ряда.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд , где произвольное вещественное число.

Решение.

Поскольку , то . В правой части неравенства имеем общий член ряда Дирихле, для которого . Этот ряд сходится.

Следовательно, по признаку сравнения рядов, ряд, который образован из модулей членов исследуемого ряда, сходится.

Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно.