Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри.
Перпендикуляром,
опущеним із даної точки на дану площину,
називається відрізок, що сполучає дану
точку з точкою площини й лежить на
прямій, перпендикулярній до площини.
Кінець цього відрізка, який лежить у
площині, називається основою
перпендикуляра. Відстанню
від точки до площининазивається
довжина перпендикуляра, опущеного із
цієї точки на площину.
На
рисунку AB —
перпендикуляр; AC —
похила; BC —
проекція.
Відстанню
від прямої до
паралельної їй площини називається
відстань від будь-якої точки цієї прямої
до площини.
Відстанню
між паралельними площинами називається
відстань від будь-якої точки однієї
площини до другої площини.
Похилою,
проведеною з даної точки до даної
площини, називається будь-який відрізок,
який сполучає дану точку з точкою площини
і не є перпендикуляром до площини. Кінець
відрізка, що лежить у площині,
називається основою
похилої.
Відрізок,
який сполучає основи перпендикуляра й
похилої, проведених з однієї і тієї
самої точки, називається проекцією
похилої.
Властивості похилих, проведених з однієї точки до однієї площини
Похилі, проведені до площини з однієї точки (рисунок нижче зліва), рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають рівні проекції. 2. Якщо з точки до площини проведені дві похилі, то більша та з них, яка має більшу проекцію, і навпаки, більша похила має більшу проекцію. Зверніть увагу, що ці властивості зберігаються для похилих, які проведені до площини з різних точок, але мають однакову довжину перпендикуляра
Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.
Теорема 2. Пряма, перпендикулярна до площини трикутника і проведена через центр вписаного в нього кола (див. рисунок), є геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від сторін трикутника.
Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярність двох площин
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.
Ознака перпендикулярності площин
Теорема 1. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.
Теорема 2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини
Вимірювання відстаней у просторі
Завершуючи роботу з таблицею, доцільно розглянути один із способів обчислення кута між площинами, а саме – координатно – векторний.
Насамперед, розглянемо зв’язок кута між площинами і кута між їх нормальними векторами.
На площині Кути із взаємно-перпендикулярними сторонами рівні або їх сума дорівнює 180˚.
|
У просторі Кут між площинами дорівнює куту між нормальними векторами цих площин або їх сума дорівнює 180˚.
|
Оскільки коефіцієнти , і у загальному рівнянні площини є координатами нормального вектора, а також, враховуючи, що кут між площинами за означенням гострий, маємо наступний алгоритм обчислення кута між площинами:
1. Задаємо деяку (зручну для нас) систему координат.
2. Визначаємо координати трійок точок, через які проходять вказані площини.
3. Знаходимо рівняння площин.
4. Записуємо координати векторів нормалі.
5. Використовуючи скалярний добуток векторів, визначаємо косинус кута між нормальними векторами.
6. Робимо висновок