Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Основою для виведення решти формул є формули додавання: ; ; ; ; ;  .

Формули зведення

Формули зведення допомагають виразити значення тригонометричних функцій кутів вигляду  ,  , ,   через функції кута   (табл. 1). Відповідні формули легко запам’ятати, користуючись такими правилами: 1) якщо аргумент функції має вигляд   або  , назва функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), а якщо аргумент має вигляд  ,  , назва функції не змінюється; 2) перед утвореною функцією ставиться той знак, який має початкова функція, якщо   — кут у І чверті. Використовуючи ці формули, а також періодичність тригонометричних функцій (див. нижче) можна значення тригонометричної функції довільного кута звести до значення функції гострого кута.

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

; ; ; ; ; .

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму

; ; .

Формули подвійного аргументу

; ; ; ; .

Формули половинного аргументу

; ; ; .

Формули перетворення синуса і косинуса кута через тангенс половини цього кута

;  ; . 

1.   Співвідношення між синусом і косинусом.

Нехай точка Р_а(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р₀(1; 0) на кут а радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у = sin α (рис. 100)

Оскільки точка  Р_а(х;у)   належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х² + у² = 1.Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos α і sin α , отримаємо: (cos α)² + (sin α)² = 1 або (враховуючи, що (cosα)² = cos² α,  (sin α)² = sin² α)) cos² α + sin² α = 1.

Таким чином, sin² α + cos² α = l для всіх значень α. Ця рівність називається основною триго­нометричною тотожністю

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin a через cos α і навпаки.

,.

8) Формули додавання. Формули зведення

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів  ,  ,  ,   виражаються через значення  ,  ,  ,  .

Для полегшення запам’ятовування формул зведення можна користуватися такими правилами:

1) якщо у формулах містяться кути   і  , то найменування функції не змінюється; якщо ж у формулах містяться кути   і  , то найменування функції змінюється на подібне (синус – на косинус, тангенс – на котангенс і навпаки);

2) щоб визначити знак у правій частині формули («+» або « –»), досить, вважаючи кут   гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута   ставлять такий знак, який має зведена функція кутів  ,  ,  ,  .

Наприклад,  ;  .

 

Для будь-яких дійсних чисел   і   справедливі формули:

;                              (15)

;                              (16)

;                              (17)

;                              (18)

;                                        (19)

.                                        (20)

Формула (19) справедлива при       відмінних від    . Формула (20) справедлива при       відмінних від    .