3) Властивості функцій. Монотонність функцій. Точки екстремуму функцій

Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції. Функція називається спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції. Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, її називають зростаючою (спадною).

Функція, тільки зростаюча або тільки спадна на даному числовому проміжку, називається монотонною на цьому проміжку.

Прикладами монотонно зростаючих функцій є:  ,  ,  . Прикладами монотонно спадних –  ,  ,  . А, наприклад, функція   не є монотонною на всій області визначення, оскільки при

   вона є спадною, а при     – зростаючою.

Розглянемо графік неперервної функції Y = F (X), зображеної на малюнку. Значення функції в точці x1 буде більше значень функції у всіх сусідніх точках як зліва, так і праворуч від x1. У цьому випадку говорять, що функція має в точці x1 максимум. У точці x3 функція, очевидно, також має максимум. Якщо розглянути точку x2, то в ній значення функції менше всіх сусідніх значень. У цьому випадку говорять, що функція має в точці х2 мінімум. Аналогічно для точки x4.

Функція Y = F (х) в точці x0 має максимум, якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку x0, тобто якщо існує така околиця точки х0, що для всіх х ≠ x0, що належать цій околиці, має місце нерівність F (X) <F (x0).

Функція Y = F (х) має мінімум в точці x0, якщо існує така околиця точки х0, що для всіх х ≠ x0, що належать цій околиці, має місце нерівність F (X)> F (x0.

Точки, в яких функція досягає максимуму і мінімуму, називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.

Звернемо увагу на те, що функція, визначена на відрізку, може досягати максимуму і мінімуму тільки в точках, укладених усередині розглянутого відрізка.

Відзначимо, що якщо функція має в точці максимум, то це не означає, що в цій точці функція має найбільше значення у всій області визначення. На малюнку, розглянутому вище, функція в точці x1 має максимум, хоча є точки, в яких значення функції більше, ніж у точці x1. Зокрема, F (x1) <F (x4) тобто мінімум функції більше максимуму. З визначення максимуму слід тільки, що це найбільше значення функції в точках, достатньо блізкіхк точці максимуму.

Теорема 1. (Необхідна умова існування екстремуму.) Якщо диференційована функція у = F (X) має в точці х = х0 екстремум, то її похідна в цій точці звертається в нуль.

Доказ. Нехай для визначеності в точці x0 функція має максимум. Тоді при досить малих збільшеннях Ах маємо F (x0 + АХ) <F (x0), тобто Але тоді

Переходячи в цих нерівностях до межі при Ах → 0 і враховуючи, що похідна F '(x0) існує, а отже межа, що стоїть ліворуч, не залежить від того як АХ → 0, отримуємо: при АХ → 0 - 0 F' (x0 ) ≥ 0 а при АХ → 0 + 0 F '(x0) ≤ 0. Так як F '(x0) визначає число, то ці дві нерівності сумісні тільки в тому випадку, коли F' (x0) = 0.

Доведена теорема стверджує, що точки максимуму і мінімуму можуть знаходитися тільки серед тих значень аргументу, при яких похідна звертається в нуль.

4) Числові послідовності. Види числових послідовностей. Границя числової послідовності.

Числова́ послідо́вність  — послідовність (математика) дійсних чисел, тобто відображення, яке кожному натуральному числу n ставить у відповідність дійсне число  . Число   називають елементом або членом послідовності. Послідовною називають функцію,яка задана на множині всіх або перших n натуральних чисел. Числа, які утворюють послідовність називають членами послідовності. Якщо послідовність має скінченне число членів, то її називають скінченною послідовністю. Якщо послідовність має нескінченне число членів, то її називають нескінченною послідовністю, а у записі це показують трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.

У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами внизу.Кожний індекс вказує порядковий номер члена послідовності.

Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який його член.

1. Послідовність можна задати описом знаходження її членів.

2. Скінчену послідовність можна задати переліком її членів.

3. Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.

4. Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер.

5. Спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім- умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попереднім.Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним.

Числова послідовність - це послідовність елементів числового простору.

Числові послідовності є одним з основних об'єктів розгляду в математичному аналізі.