12. Вимірювання кутів у просторі

Подібний алгоритм можна скласти і для знаходження кута між прямими, кута між прямою та площиною, відстані між мимобіжними прямими.

Щ о стосується останнього, то тут, залежно від початкових умов можуть бути використані 2 способи. Розглянемо кожен з них.

Відстань між мимобіжними прямими – це довжина їх спільного перпендикуляра, тобто довжина відрізка (або вектора), перпендикулярного кожній із заданих прямих  з кінцями на цих прямих.

Нехай l₁ та  l₂ – мимобіжні прямі,   ,   ,   ,   .

Щоб розв’язати задачу знаходження відстані між прямими l₁  та  l₂ треба знайти довжину вектора   . Якщо для цього використовуватимемо координатний метод, то спочатку знайдемо координати двох точок на кожній з прямих:

 ; 

 ; 

Після цього

1        складемо векторну рівність

     або   

Враховуємо колінеарність пар векторів

  та   : 

  та   :  

2        тоді

                                       (*)

За координатами точок A, B, C, D виражаємо координати вектора    через дві невідомі величини    та    з правої частини формули (*).

3        враховуючи, що

отримаємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Звідки знаходимо значення   та   , а отже і координати вектора   .

4        знаючи координати вектора   , легко знайти його довжину.

З аслуговує на увагу і такий спосіб визначення відстані між мимобіжними прямими.

Нехай а та b – задані мимобіжні прямі. Через довільну точку М прямої b проведемо

пряму a₁||a. Прямі a₁ та b перетинаються, отже однозначно визначають площину α. Згідно з ознакою паралельності прямої і площини

а|| a .

Тому відстань між мимобіжними прямими дорівнюватиме відстані від будь – якої  точки A  прямої а до побудованої ( зазначеної) площини α .

Таким чином, розв’язання задачі на визначення відстані між мимобіжними прямими зводиться до визначення відстані від довільної точки, взятої на одній з цих прямих, до площини, паралельної їй, проведеної через другу мимобіжну пряму.

Теми “Кут між прямими” та “Відстань між мимобіжними прямими” вивчається у 10 класі. І досить добре було б завершити вивчення цих тем розв’язуванням задач, в яких треба визначити обидві вказані величини за різних початкових умов.

В 11 класі, коли учні знайомі з усіма многогранниками та їх характеристиками доцільно розглянути задачі, в процесі розв’язування яких органічно поєднуються нові знання та вивчене раніше.

12. Вектори у просторі. Дії над вектором.

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими, як означення векторів на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»). Координатами вектора  , де  ,  , називають числа ,  ,  . Вектори рівні тоді, й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати. Це дає підставу позначити вектор його координатами  , або просто  . . Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині:   . Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника. Так само доводиться, що  , а напрям вектора   збігається з напрямом  , якщо  , і протилежний напряму  , якщо  . Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова. Скалярним добутком векторів  і   називається число  . Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин і косинуса кута між векторами: . Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю. Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за трьома координатними векторами  ,   і   (див. рисунок).   Так само, як і на площині, означають дії над векторами в просторі.

   Сумою векторів  ( а_x, а_y, а_z)  і ( b_x, b_y, b_z) називається вектор  з координатами (а_x+ b_x ; а_y+b_y ; а_z+b_z). Також справджується

   векторна рівність +=

   Добутком вектора ( а_x, а_y, а_z)  на число λ  називається вектор λ=( λа_x, λа_y, λа_z).

   Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм на­прямлені відрізки розміщені в паралельних площинах. Вектори ОА , ОВ і ОС

   компланарні тільки за умови, що точки О, А, В, С лежать в одній площині.

.

.