§ 8. Прямая и обратная геодезические задачи
С решением этих задач связана вычислительная обработка результатов измерения на местности, которая проводится при составлении планов; решении задач, связанных с проектированием сооружений и геодезической подготовкой данных для выноса в натуру (на местность).
Прямая геодезическая
задача. В геодезии часто приходится
передавать координаты с одной точки на
другую. Зная исходные координаты точки
1 (
,
),
горизонтальное проложение до другой
точки 2 (
)
и дирекционный угол линии 1–2 (
),
можно найти координаты точки 2 (
,
)
на рис. 10, а. В этом заключается сущность
прямой геодезической задачи.
а)
|
б)
|
Рис. 10. Решение геодезических задач: а) прямой; б) обратной |
|
Непосредственно из рис. 10, а имеем:
|
(8) (9) |
где
и
–
это приращения координат.
Из прямоугольного треугольника 122' (рис. 10, а) находим:
|
(10) (11) |
Знаки
приращений определяются в зависимости
от того, в какой четверти находится
линия 1–2 и каково название румба
(см. рис. 9). Приращения координат и
координаты определяются с той же
точностью, что и длина линии при
измерениях.
Обратная
геодезическая задача заключается
в том, чтобы по данным координатам точек
3 и 4 (
,
и
,
)
найти горизонтальное проложение линии
3–4 (
)
и ее направление (дирекционный угол
или румб
)
на рис. 10, б.
Из рис. 10, б имеем:
|
(12)
(13) |
По
знаку приращения координат определяется,
в какой четверти находится линия и
название румба, а в зависимости от этого
определяется и значение дирекционного
угла
(см. рис. 9). Горизонтальное проложение
вычисляется дважды (для контроля) при
помощи формул
или
|
(14)
(15) |
.
Обратная задача используется при выносе проектов сооружений в натуру (на местность).
Г л а в а 4. Общие сведения из теории погрешностей измерений
§ 9. Погрешности и их виды
Измерить величину – это значит установить отношение измеряемой величины к другой, однородной ей величине, принятой за единицу измерения. Различают два метода измерений:
1. Непосредственный – когда величину измеряют, непосредственно сравнивая ее с единицей меры.
Косвенный – когда величину объекта вычисляют, решая уравнение физической или геометрической связи между размерами этого объекта как функции и величиной другого как аргумента.
В геодезии и строительстве измеряют преимущественно две физические величины – длину и угол, которые определяют геометрическую форму объекта.
Результат любых
измерений неизбежно содержит погрешность.
Если X – точное значение
физической величины, а l
– результат измерений этой величины,
то случайная погрешность результата
измерений
определится формулой:
|
(16) |
.Погрешность измерений в общем случае рассматривается как сумма трех составляющих ее видов погрешностей: грубой, систематической и случайной.
Грубая ошибка – возникает из-за невнимательности исполнителя, выполняющего измерения, или вследствие неисправности прибора. Результаты подобных измерений обработке не подлежат.
Систематическая ошибка – возникает при измерении однородных величин или одной и той же величины и проявляется с одинаковой закономерностью, например, с одинаковым знаком. Исключается из результатов измерений путем введения поправок или соответствующей организацией процесса измерений.
Случайная (неизбежная) ошибка – появляется в результате совместного воздействия большого числа факторов, при которых проводят измерения. Случайные погрешности неустранимы.
В том случае, если однородные величины или одну и ту же величину измеряют: а) исполнители одинаковой квалификации; б) одинаковое число раз; в) одинаковыми приборами, г) в одинаковых внешних условиях; д) одинаковыми методами, то подобные измерения называют равноточными. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то измерения являются неравноточными.
Перечисленные свойства погрешностей служат основой для решения задачи уравнивания результатов измерений, т.е. задачи определения наиболее надежных значений измеренных величин, для которых влияние случайных погрешностей было бы минимально.