НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГIЧНИЙ УНIВЕРСИТЕТ iмені М.П. ДРАГОМАНОВА Фізико-математичний інститут Освітньо-кваліфікаційний рівень_бакалавр___________________________________________ Напрям підготовки _____6.040201 Математика______________________________________ Спеціальність ______________________________________ Семестр _______7___________ (назва) Навчальна дисципліна ___Теорія ймовірностей та математична статистика___

Екзаменаційний білет № 1

1. Центральна гранична теорема.

2. Математичне сподівання випадкової величини та його властивості.

3. Довести, що , якщо Y=aX, .

Екзаменаційний білет n 2.

1. Моменти випадкових величин та їх властивості.

2. Випадкові події та операції над ними.

3. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини має вигляд Знайти . Знайти функцію розподілу ймовірностей і щільність розподілу ймовірностей випадкової величини .

Екзаменаційний білет n 3.

1. Розподіл ймовірностей функції випадкового аргументу

2. Означення ймовірності. Ймовірнісний простір.

3. Знайти характеристичну функцію випадкової величини з дискретним розподілом ймовірностей, що заданий таблицею:

x	-2	-1	0	1	2
p	0.1	0.3	а	0.3	0.1

Екзаменаційний білет n 4.

1. Повторні незалежні випробування. Локальна та інтегральна асимптотичні теореми Муавра-Лапласа.

2. Нормальний розподіл ймовірностей. Характеристична функція центрованого і нормованого нормального розподілу ймовірностей.

3. . Знайти , використовуючи формулу , де , – щільність рівномірного розподілу ймовірностей на множині . Дати відповідні геометричні тлумачення.

Екзаменаційний білет n 5.

1. Ймовірнісні міри та способи їх описування. Абсолютно неперервні і сингулярні розподіли. Приклади.

2. Властивості статистичних ймовірностей.

Є коробок, в кожній з яких по білих і по чорних кульок. Із першої коробки навмання вибирається одна кулька і перекладається в другу коробку. Потім із другої коробки навмання вибирається кулька і перекладається в третю коробку і т.д. Після такого перекладання навмання вибирається одна кулька з останньої коробки. Знайти ймовірність того, що ця кулька буде біла.

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ N 6.

1. Закон великих чисел. Теореми Чебишова і Бернуллі.

2. Одновимірні розподіли ймовірностей складових двовимірного випадкового вектора. Залежні і незалежні випадкові величини.

3. Функція розподілу статистичних ймовірностей має вигляд:

Знайти математичне сподівання випадкової величини .

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ N 7.

1. Умовні ймовірності. Залежні і незалежні випадкові події. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

2. Моменти випадкової величини та їх властивості. Приклади.

3. . Знайти , використовуючи формулу , де , – щільність рівномірного розподілу ймовірностей на множині . Дати відповідні геометричні тлумачення.

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ N 8.

1. Випадкові вектори та їх розподіли ймовірностей.

2. Найімовірніше число появ події А в серії із n незалежних випробувань.

3. Пакувальник складає 2100 деталей. Ймовірність того, що деталь помічена, дорівнює 0,15. Що більш ймовірно, що в пакунку виявиться від 210 до 235 помічених деталей, чи від 720 до 755.

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ N 9.

1. Статистичні ймовірності та їх властивості. Розподіли статистичних ймовірностей.

2. Властивості математичного сподівання.

3. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини має вигляд Знайти функцію розподілу ймовірностей і щільність розподілу ймовірностей випадкової величини .

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ N 10.

1. Прості випадкові величини та їх властивості.

2. Ймовірність попадання в паралелепіпед [a,b] є .

3. При передаванні телеграфних повідомлень за допомогою двох знаків " " і " – " статистична ймовірність появи знака "–" в кодах повідомлень дорівнює 0,55, а знака " " – 0,45. При цьому знак "–" спотворювався з статистичною ймовірністю 0,10, а знак " " – з статистичною ймовірністю 0,15. Чому дорівнює статистична ймовірність появи знака "–" в кодах прийнятих повідомлень?