Алгоритм нахождения цикломатического базиса:

1. Для графа найти его остовное дерево.

2. Циклы, получаемые в результате поочередного добавления хорд, составляют цикломатический базис.

Пример.

Дан граф.

Его остов.

Таблица циклов Остов Хорды 1 1 1 1 1 1

Теорема Эйлера. , где:

• – число ребер графа;

• – число вершин графа;

• – число компонент связанности графа.

13. Реберные графы. Критерий реберности графа. Алгоритм порождения образа реберного графа.

Пусть – некоторый граф. Назовем граф реберным графом G, если носитель графа совпадает с множеством ребер графа , и две вершины в смежны, если соответствующие ребра смежны в .

Пример.

Образ графа – граф, для которого данный граф является реберным.Граф обладает свойством реберности, если найдется такой граф , что реберный для него будет изоморфен G.

Критерий реберности графа.

Граф является реберным тогда и только тогда, когда существует разложение графа на полные подграфы таким образом, что каждая вершина принадлежит не более, чем двум полным подграфам, а каждое ребро принадлежит в точности одному такому подграфу.

Нахождение образа графа, обладающего свойством реберности.

1. Найти разбиение графа на полные подграфы, такие, что ни одна вершина не принадлежит более чем двум полным подграфам (каждое ребро входит в 1 полный подграф-разбиение).

2. Каждому подграфу поставить в соответствие вершину образа.

3. Соединять те вершины образа, подграфы которых имеют общие вершины, если ребер получилось меньше, чем должно быть, то дополнить ребрами (с новой вершиной).

Пример.

;

;

;

;

.

Образ графа:

14. Задача раскраски графа: постановка и решение. Приближенная раскраска графа по Ершову.

Раскраской вершин графа называется такое окрашивание вершин графа, что никакие 2 смежные вершины не имеют один цвет.Хроматическое число – минимальное число цветов, которое допускает раскраску графа.

Пустым подграфом графа – подграф графа , в котором любая пара вершин несмежна. Алгоритм нахождения пустых подграфов сводится к итеративному разбиению графа на подграфы, в котором хотя бы одна вершина несмежна со остальными в подграфе.

Алгоритм нахождения раскраски.

1. Выделить все пустые подграфы графа.

2. Построить таблицу покрытий вершин графа пустыми подграфами.

3. Найти минимальное покрытие вершин графа пустыми подграфами (мощность минимального покрытия – это h(G), а само покрытие определяет раскраску).

Оценки значения хроматического числа:

• Граф бихроматичен ( ), если в нем отсутствуют циклы нечетной длины.

• Любой планарный граф может быть раскрашен не более, чем в 4 цвета.

• , где –плотность графа – число максимального полного подграфа.

• , где – степень графа – максимальная степень его вершин.

• , где –число внешней устойчивости – минимальная мощность множества таких вершин, что каждая вершина графа или принадлежит кXили смежна с одной из вершин из .

Оценки хроматических чисел результатов операций:

• ;

• ;

• ;

• 

Приближенная раскраска по Ершову:

Алгоритм строится на стягивании несмежных вершин в одну, при этом в результате стягивания ребра стянутых вершин объединяются. Процесс стягивания производится до тех пор пока не будет достигнут полный граф. Вершины результирующего графа, состоящие из нескольких вершин исходного графа, раскрашиваются в один цвет.

Алгоритм Ершова дает лишь оценочную раскраску графа, а полученное число красок является оценкой хроматического числа сверху.

Пример.

15. Машина Тьюринга, ее структура и свойства. Проблема остановки МТ.

Алгоритм– точное предписание о выполнении в некотором порядке системы операций, определяющихпроцесс перехода от исходных данных к искомому результату для решения всех задач некоторого типа.

Свойства:

1. Определенность–точность, не оставляющая место произволу;

2. Массовость – применимость для любых допустимых исходных данных;

3. Результативность– гарантия результата для любых допустимых данных;

4. Элементарностьшагов.

Формальное описание алгоритмов было необходимо, т.к.:

1. было необходимо обоснование существания проблем, для которых не существует алгоритма;

2. было необходимо выявить конечность алгоритма, элементарные шаги;

3. были попытки создать универсальный алгоритм;

4. возникла необходимость рассматривать алгоритм как математический объект.

Машина Тьюринга - абстрактная (воображаемая) "вычислительная машина" некоторого точно охарактеризованного типа, дающая пригодное для целей математического рассмотрения уточнение общего интуитивного представления об алгоритме.

Тезис Тьюринга - любой алгоритм можно преобразовать в машину Тьюринга.

Структура машины Тьюринга.

1. Бесконечная лента, разделенная на ячейки, в которых записаны символы внешнего алфавита Выделяют два специальных символа - пустой символ и символ начала строки.

2. Механическое устройство, способное перемещаться относительно ленты (вправо, влево, стоять на месте).

3. Управляющая головка - некоторое устройство, способное считывать значение ячейки и записывать новое.

4. Выделенная ячейка памяти, содержащая сведения о внутреннем состоянии машины – символа из внутреннего алфавита . Выделяют для специальных символа - начальное и заключительное состояния.

5. Функциональная схема – область памяти с программой, содержащие инструкции вида: –если машина находится в состоянии , а на ленте находится символ , то записать на ленту , сделать шаг влево и перейти в состояние .

Проблема называется алгоритмически неразрешимой, если для нее невозможно построить алгоритм.

Теорема. Задача об остановке машины Тьюринга на произвольном входном слове алгоритмически неразрешима.

Будем вести доказательство от противного.

Пусть – машина Тьюринга, – ее код, t- начальное слово.

Предположим, что существует машина , решающая проблемы остановки машины . На ленте машины перед запуском записано кодмашины и начальное слово t.Машина работает и печатает «+» если машины останавливается, и «-» в противном случае.

Если предположение верно в общем смысле, то и в частном тоже. Пусть .Машину получим следующим образом: сначала копирует на ленту в прямом порядке, а потом работает как машина .

Теперь преобразуем машину в машину , которая работает так же как и машина вплоть до остановки машины , но если при слове машина печатает «+» и останавливается, то машина не останавливается, а двигается по ленте неограниченно вправо. А если машина печатает «-», то Fостанавливается.Итак, машина не останавливается, если останавливается и машина останавливается, если машина не останавливается.

Пусть теперь . Тогда F – самоанализируюая машина, в качестве входного слова ее же код. Тогда машина остановится, если машина не остановится, и машина не остановится, если машина остановится. Противоречие задача алгоритмически неразрешима.