Классы бинарных отношений. Отношение порядка и его свойства.
Бинарное отношение называется:
отношением эквивалентности, если оно:
рефлексивно;
симметрично;
транзитивно.
отношением (нестрогого) порядка, если оно:
рефлексивно;
антисимметрично;
транзитивно.
отношением строгого порядка, если оно:
иррефлексивно;
антисимметрично;
т
ранзитивно.
Упорядоченные множества часто изображаются в форме диаграммы Хассе. Диаграмма Хассепредставляет собой графическое представление упорядоченного множества, в котором отсутствуют (но подразумеваются) рефлексивные петли и транзитивные дуги.
Рассмотрим
подмножество
упорядоченного множества
:
Элемент
называется максимальным
элементом
Х, тогда и
только тогда, когда не существует
больших, т.е.
.Элемент
называется минимальным
элементом
Х, тогда и
только тогда, когда не существует
меньших, т.е.
.Элемент
называется наибольшим
элементом
,
тогда и только тогда, когда
.Другими
словами, наибольший элемент находится
в сравнении со всеми элементами
.Элемент
называется
наименьшим
элементом
,
тогда и только тогда, когдаx
.Другими
словами, наибольший элемент находится
в сравнении со всеми элементами
.Элемент
называется
мажорантой
Х тогда и
только тогда, когда
.Элемент
называется
минорантойХ
тогда и
только тогда, когда
.Элемент
называется верхней
гранью Х
тогда и
только тогда, когдаон является наименьшим
среди мажорант.
Элемент
называется
нижней гранью
Х тогда и
только тогда, когда он является наибольшим
среди минорант.
Пример.
;
Если любые два
элемента
находятся
в отношении порядка, то это линейный
порядок,
иначе частичный.
Под линеаризацией отношения частичного порядка понимается превращение частичного порядка в линейный без нарушения исходного порядка. Любое отношение частичного порядка поддается линеаризации.
Пример.
Логическое высказывание и его свойства. Логические операции (связки). Формализация логических суждений.
Логическое высказывание– любое утвердительное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.
Виды высказываний:
простое высказывание– высказывание, которое не содержит других высказываний;
сложное высказывание(формула алгебры логики) – высказывание, которое содержит в себе другие высказывания. Сложное высказывание образуется из простых с помощью связок.
Любое высказывание
на естественном языке может быть
преобразовано в эквивалентное формальное
высказывание. В этом случае любое простое
высказывание заменяется на пропозициональную
переменную (
),
а сложное получается из этих простых
путем замены языковых связок (“или”,
“и”, “либо”) на логические операции
между этими ними.
Основные логические операции и соответствующие им языковые связки:
Дизъюнкция (
двух
слагаемых ложна тогда и только тогда,
когда ложны оба слагаемых.
или
;, либо , либо оба.
Конъюнкция(
)двух
сомножителей истинна тогда и только
тогда, когда истинны оба сомножителя.и ;
известно, что: , .
Отрицание (
)
лжи есть истина, отрицание истины есть
ложь.не ;
неверно, что .
Для функции импликации(
)
из лжи следует все, что угодно, а из
истины только истина.если , то ;
,если ;
из a следует ;
– достаточное условие для ;
– необходимое условие для ;
, если только .
Эквивалентность(
)двух
высказываний истинна тогда и только
тогда, когда значения переменных
совпадают.тогда и только тогда, когда .
Жегалкинское сложение(
двух слагаемых истинно тогда и
толькотогда, когда значения переменных
различны.
либо ;
либо ,либо b.
или , но не оба;
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
