Задание 4. Решение дифференциальных уравнений

4.1. Решите дифференциальное уравнение второго порядка

где параметр а – номер варианта, задаваемого преподавателем. Для решения используйте метод численного интегрирования Рунге-Кутта третьего порядка, реализованного в системе MATLAB функцией ode23, синтаксис которой имеет вид

,

где <name> – строковая переменная, являющаяся именем М-файла, в котором вычисляется правая часть системы дифференциальных уравнений; – начальные и конечные значения времени интегрирования; – вектор начальных условий; – двумерный массив, где каждый столбец соответствует одной переменной.

Для получения результата выполните следующие действия.

4.1.1. Представьте заданное уравнение в виде системы уравнений в явной форме Коши

4.1.2. Создайте М-файл, который представляет собой функцию пользователя для вычисления правых частей уравнения, с именем «prf»:

4.1.3. Задайте следующие значения и начальные условия .

4.1.4. Решите уравнение с помощью функции системы MATLAB ode23

4.1.5. Постройте график получившегося решения, используя функции plot и grid, обозначьте на графике оси и кривые.

4.2. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.

Задание 5. Аппроксимация и интерполяция функций

5.1. Аппроксимируйте функцию полиномом 6 степени на интервале времени с шагом дискретизации 0,1 с, используя функцию системы MATLAB polyfit, синтаксис которой , где – вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома степени n.

5.2. Вычислите значения полинома в заданном интервале переменной , используя функцию системы MATLAB polyval, синтаксис которой .

5.3. Постройте графики исходной и аппроксимирующей функций в одних осях, используя функции plot и grid, обозначьте на графике оси и кривые. Определите отрезок времени, где аппроксимация расходится.

5.4. Соедините гладкой кривой 6 точек на плоскости , используя интерполяцию функции кубическим сплайном при помощи системной функции spline, синтаксис которой имеет вид , где – векторы заданных координат точек, – вектор точек интерполяции внутри области определения функции. Векторы координат точек:

, где параметр а – номер варианта, задаваемого преподавателем, .

5.5. Постройте на одном рисунке график заданной дискретной функции в виде отдельных вертикальных линий, используя функции stem и hold on, и график интерполирующей непрерывной функции, используя функции plot и grid.

5.6. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.

5.7. Выйдете из системы, закрыв её главное окно. Оформите отчет, сделайте общий вывод по лабораторной работе.

Контрольные вопросы

1. Какие окна могут располагаться в окне MATLAB?

2. Какие операции системы MATLAB используются при работе с матрицами и векторами?

3. Как создать новый М-файл, реализующий математическую функцию пользователя?

4. Какие методы численного интегрирования реализованы в системе MATLAB?

5. Какие методы аппроксимации и интерполяции реализованы в системе MATLAB?