2.6. Решение систем линейных уравнений

^{Пример 1. Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера.}

^{Решить систему уравнений}

^{Решение. По правилу Крамера решение системы}

^{имеет вид (), где  = det A, }_i ^{– i-й вспомогательный определитель, равный определителю матрицы системы, в которой i-й столбец заменен столбцом свободных членов.}

^{Учитывая, что в Excel определители вычисляются только для простых диапазонов, чтобы не задавать отдельно матрицы 2-го и 3-го вспомогательных определителей, поступим следующим образом. В диапазон А2:D4 введем расширенную матрицу системы, в диапазон E2:E4 скопируем диапазон А2:А4, а в диапазон F2:F4 – диапазон В2:В4. Тогда формулу (*) можно записать в виде:}

^х₁ ^{= МОПРЕД(b2:d4) / МОПРЕД(a2:c4),}

^х₂ ^{= – МОПРЕД(c2:e4) / МОПРЕД(a2:c4),}

^х₃ ^{= МОПРЕД(d2:f4) / МОПРЕД(a2:c4).}

^{Расчеты по ним приводят к результатам, показанным на рис. 2.46.}

^{Рис. 2.46}

^{Ответ: –3; 2; 1.}

^{Пример 2. Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы.}

^{Решить систему линейных уравнений матричным методом.}

^{Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения:}

^.

^{Матричный метод решения системы линейных уравнений, записываемой в виде АХ = В, состоит в применении формулы Х = А-1 В.}

1. Водим матрицу А в диапазоне А2:С4 и вектор В в диапазоне Е2:Е4.

2. Выделяем диапазон G2:G4 и устанавливаем курсор ввода в окне формул.

3. Кнопкой , а затем командами Математические МУМНОЖ ОК открываем диалоговое окно встроенной функции умножения матриц и заполняем его поля, как показано на (рис. 2.47).

^{Рис. 2.47}

4. Нажимая Ctrl + Shift + Enter, получаем искомый вектор Х (рис. 2.48).

Рис. 2.48

Ответ: 1; 2; 3.

Задания для самостоятельной работы

1. Решить системы линейных уравнений:

а) ^{б) в)}

^{г) д) е)}

^{ж) з) и)}

^{ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ}

^{Вариант 1}

1. Вычислить tg 435^o + tg 375^o .

2. Решить уравнение 2х² – 5х + 2 = 0.

^{3. Решить систему уравнений}

4. Построить эллипсоид .

5. Найти обратную матрицу .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 2}

1. Вычислить sin .

2. Решить уравнение 2х² – 7х + 5 = 0.

3. Решить систему уравнений

^{4. Построить график функции r2 = 36 cos 2 (лемниската Бернулли) в полярной системе координат.}

^{5. Транспонировать матрицу .}

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 3}

^{1. Вычислить} .

2. Решить уравнение 2х² – 3х + 1 = 0.

3. Решить систему уравнений

^{4. Построить однополостный гиперболоид .}

5. Вычислить А³, если А = .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 4}

1. Ввести сложную функцию у = tg( ctgx) – ctg( tgx).

2. Решить уравнение х² – 9х + 18 = 0.

3. Решить систему уравнений

^{4. Построить график функции r = 10 sin 3 (трехлепестковая роза) в полярной системе координат.}

5. Найти обратную матрицу .

^{6. Решить систему линейных уравнений}

^{Вариант 5}

1. Ввести квадратичную функцию z = x² +y².

2. Решить уравнение 4х² + 8х = 0.

3. Решить систему уравнений

4. Построить конус z² =ху.

5. Транспонировать матрицу .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 6}

^{1. Ввести функцию}

2. Решить уравнение х² – 7х + 12 = 0.

3. Решить систему уравнений

4. Построить график функции r = 2 (1 + cos ) (кардиоида) в полярной системе координат.

5. Вычислить С = 3А +5В, если А = , В = .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 7}

^{1. Ввести функцию}

2. Решить уравнение .

3. Решить систему уравнений

4. Построить конус x² +y² – 2z² =0.

5. Вычислить определитель .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 8}

1. Ввести сложную функцию .

2. Решить уравнение .

3. Решить систему уравнений

4. Построить график функции  = 2 sin r в полярной системе координат.

5. Вычислить С = А  В, если А = , В = .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 9}

1. Вычислить .

2. Решить уравнение lg5 + lg(x+10) = 1 – lg(2x–1) + lg(21x–20).

3. Решить систему уравнений

4. Построить гиперболический параболоид .

5. Вычислить определитель .

6. Решить систему линейных уравнений

^{Вариант 10}

1. Ввести квадратичную функцию у = х² – 4х –5.

2. Решить уравнение .

3. Решить систему уравнений

4. Построить график функции (лемниската) в полярной системе координат.

5. Вычислить С = 7А – 2В, если А = , В = .

6. Решить систему линейных уравнений

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel. – СПб.: Питер, 2003.

2. Додж М., Стинсон К. Эффективная работа с Microsoft Excel 2000. – СПб.: Питер, 2000. – 1056 с.

3. Зинькевич С.П. Курс практической работы с электронными таблицами Microsoft Excel : Учеб. пособие / С. П. Зинькевич, И. Ю. Моторина, А. А. Цыганов ; Под ред. Б. А. Щукина. – М. : ДИАЛОГ-МИФИ, 1991. – 252 с.

4. Ковальски С. Excel 2000 без проблем / С. Ковальски ; Под ред. С. Молявко. – М. : БИНОМ, 1999. – 471 с.

5. Кузьмин В. Microsoft Office Excel 2003 : Учеб. курс / Под ред. В. Кузьмина. – СПб.: Питер : BHV, 2004. – 492 с.

6. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. – 136 с.

7. Сдвижков О.А. Математика в Excel 2002. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004. – 192 с.

8. Сингаевская Г.И. Функции в Excel. Решение практических задач. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 880 с.

9. Microsoft Excel 2000 : Шаг за шагом : Практ. пособие : Самоучитель. Пер. с англ. Ю.А. Левчук. – М. : ЭКОМ, 1999. – 472 с.