25. Полная группа событий. Противоположные события.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n, образующих полную группу, равна единице: Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1. Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать Ā Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q =1 З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле .

26.Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Р(А и В)=Р(АВ)=Р(А)хР(В)

Произведением события А и В будет событие С=АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Н-р, попадания в мишень двух стрелков. Произведение несовместных событий невозможно.

27. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.  Условной вероятностью P_A(B) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. P_A (B)=P(AB)/P(A) (P(A)>0). Теорема: вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)P_A(B).

28. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема: вероятность появления хотя бы оного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

29. Формула полной вероятности.

Теорема: вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂..В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: P(A)=P(B₁)P_B1(A)+P(B₂)P_B2(A)+…+P(B_n)P_Bn(A) – формула полной вероятности.

30. Повторение испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Примеры повторных испытаний: многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну. Теорема Бернулли: если производится n независимых испытаний, при чем в каждом из них интересующее нас событие А может появиться с одной и той же вероятностью Р, то вероятность появления события А ровно m раз можно вычислить по формуле: P_n(m)=C_n^m*p^m*q^n-m. Где n - –количество независимых испытаний; m – появление события А; р - вероятность события; q- не событие р.

31.Дискретные и непрерывные случайные величины (определения, примеры).

Случайной величиной Х называется величина, конкретное значение которой зависит от случая. Случайная величина - это переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Примеры ДСВ - количество солнечных дней в году, число опрошенных на занятии. Примеры НСВ: скорость и время распада радиоактивных веществ, время м/у соседними поступлениями вызовов на телефонную станцию, время безотказной работы какой-либо техники, погрешности округлений и др.