21. Предмет и задачи теории вероятности. Области применения методов теории вероятностей.

ТВ – раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие массовым случайным явлениям. Методы ТВ применяются при математической обработке результатов измерений, а также в экономике, статистике, страховке, массовом обслуживании. Первые работы, в которых зарождались основные понятия ТВ, представляли собой попытки создания теории азартных игр (паскаль, ферма, гюйгенс). Задача ТВ заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам как случайность событие вероятность правдоподобный, и оценить шансы на появление различных результатов возможных в случайном эксперименте.

22. Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.

Опыт, эксперимент, наблюдение называются испытанием. Испытаниями может быть бросание монеты или выстрел из винтовки. Результат испытания называется событием. Событиями являются: выпадение орла или решки, попадание в цель или промах. События бывают: достоверные (если в данном испытании является единственным возможным исходом), случайные (в данном испытании могут произойти а могут не произойти), невозможные (если в данном испытании оно произойти не может) и противоположные (события не совместны и одно из них обязательно происходит). Также события могут быть совместными и несовместными. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании (Н-р: брошена монета. События «появился герб» и «появилась надпись» несовместные).

23. Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных (события равн., если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое) несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. P(A)=n_A/n. Вероятность события А — число Р(А), характеризующее возможность появления этого события. По определению, О < Р(А) < 1. Вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события равна единице. Иногда вероятность выражают в процентах.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Аналогично определяется сумма большего числа событий. Н-р, появление четной грани кости есть сумма трех событий: выпадения 2, или 4, или 6. Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В. Условная вероятность — вероятность появления события А при условии, что произошло событие В, обозначается £VA| Вероятность произведения событий вычисляется с помощью условных вероятностей по формуле Р(А и В) = Р(А) х РА (В) = Р(В) х Рв (А).

24. Теорема сложения несовместных событий.

 Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство: введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,

Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.

Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n).