16.Основные правила дифференцирования. Дифференцирование элементарных функций.

1) Производная константы равна нулю, т. е.  , где C  – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т. е.  3) Производная произведения находится по правилу:  .

4)  , где   - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: .

 

6) Если функция  имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  , причем  (правило дифференцирования сложной функции).

 

7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем  .  Если существует обратная функция  , то она имеет производную в точке и   (производная обратной функции).

17.Приложения производной (на примере).

1. Первая производная

2. Аналитические признаки возрастания

3. Исследования на экстремум и убывания

4. Вторая производная

5. Аналитические признаки выпуклости и вогнутости

6. Исследование на точки пepeгиба

Пример. Число 64 разбить на такие две части, чтобы они в произведении давали максимум

Обозначим две искомые части а и b Тогда а + Ь = 64 Требуется

найти максимум произведения, т. е. исследовать на экстремум функцию

у = ab , или у = а (64-а). Берем производную у' = 64-2а и приравниваем ее нулю: 64 - 2а = 0, откуда а = 32. Тогда b = 64 - а 32, а y_max=ab = 32*32 = 1024.

18. Элементы комбинаторики: основные понятия, правила комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Другими словами, это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке. Выборки элементов – это некоторый набор, составленный из элементов данного множества по определенному правилу. Виды: размещение, перестановка, сочетание. Правила:

1. Правило произведений. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а некоторый объект В можно выбрать n способами, то пары объектов вида AB можно выбрать m*n способами. Правило распространяется на любое конечное число множеств.

2. Правило суммы. Если выбор каждого из объектов a_i, где i=1,2..k, можно выполнить n_i способами, то выбор или а₁, или а_2, или а_k можно выполнить n=Ʃ_i=1 n_i способами.

19. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания (без повторений).

1. Размещение. A_n^m (размещение из n по m) – выборки, содержащие m элементов, выбранных из n элементного множества и отличающаяся одна от другой составом элементов либо порядком их расположения. A _n^m = n*(n-1)*(n-2)…*(n-m+1). Н-р: А₁₈³ = 18*17*16=4896 2. Перестановка. Перестановками из n элементов называются размещения у которых m=n, отличающиеся только порядком следования элементов. P_n=A_n^m=n! Р₆=6!=720 3. Сочетание. C_n^m. Сочетания из n по m называют любые m-элементные подмножества n-элементного множества. (важен состав) C_n^m= A _n^m/m!=n!/(m-n)!*m!. Н-р: С₃₅⁵=35!/(5-35)!*5!=324632.

20. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания (с повторениями).

1. Размещение. A_n^m (размещение из n по m) – выборки, содержащие m элементов, выбранных из n элементного множества и отличающаяся одна от другой составом элементов либо порядком их расположения. ¬А_n^k=n^k. Н-р: 3⁵=243

2. Перестановка. Перестановками из n элементов называются размещения у которых m=n, отличающиеся только порядком следования элементов. P_n1;n2;nk=n!/n₁!*n₂!*n_k! Н-р: P_1;2;2=5!/1!*2!*2!=120/1*2*2=30

3. Сочетание. C_n^m. Сочетания из n по m называют любые m-элементные подмножества n-элементного множества. (важен состав) ¬C_n^k=P_k;n-1=(k+n-1)!/k!*(n-1)! Н-р: ¬C₃⁵=(5+3-1)/5!*(3-1)!=21