13. Постоянные и переменные величины. Предел.

Предел - это важнейшее понятие в математике, оно опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения. Суть метода пределов состоит в том, что для определения неизвестной величины находится ее приближения (неограниченное их число). Если становится все более точными и отличными от определяемой величины все меньше и меньше, то сама величина обозначается как предел этих приближений.

lim — это первые три буквы латинского слова limes, которое и означает «предел». Слово limes для обозначения предела впервые употребил И. Ньютон, символ lim ввел французский ученый С.Люилье в 1786 г., а выражение lim_n→∞ первым записал англичанин У. Гамильтон в 1855г. Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятия переменной и постоянной величин. Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения. Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения. Одни и те же величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными. Например, Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная. Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.

14. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются, используя понятия бесконечно больших и малых величин. Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Переменная   называется бесконечно малой, если для любого   существует такое значение  , что каждое следующими за ним значение   будет по абсолютной величине меньше  . Если   - бесконечно малая то говорят, что   стремится к нулю, и пишут:  . Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа существует такое значение  , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше   . Пишут:  Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно. 

15.Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.

Производная функции f в точке х₀ есть скорость изменения функции f в этой точке. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если этот предел существует и конечен.

Геометрический смысл производной:

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности   её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Производная функции f в точке х₀ определяется тангенсом угла наклона касательной, проведенной к графику функции f в точке х=х₀.

Физический смысл производной:

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скорость движения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Производная функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью  

Приравнивая к нулю производную, можно найти те значения независимой переменной, при которых функция может иметь максимум или минимум, т.е. экстремум. В «критических» точках, где функция достигает максимума, производная переходит от положительных значений к отрицательным; для минимума все наоборот. Операцию получения функции f` (х) из функции f (х) называют дифференцированием функции f (х).