1. Роль и место математики в современной практике.

Место математики в жизни и в науке определяется тем, что она позволяет перевести «общежитейские», интуитивные подходы к действительности, базирующиеся на чисто качественных описаниях, на язык точных определений и формул, из которых возможны количественные выводы. Математика – часть общечеловеческой культуры. Возникла наука около 2 000 лет назад, в качестве составной части философии. Математика способствует выработке научного мировоззрения и достижению необходимого общекультурного уровня. Математические рассуждения позволяют правильно устанавливать причинно-следственные связи, строить алгоритм действий. Каждый культурный человек должен иметь представление об основных понятиях математики (число, функция, вероятность). Математика предлагает общие и четкие логические модели для изучения окружающей действительности. Объектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания явлений окружающего мира. Математической моделью изучаемого объекта называется логическая конструкция, отражающая геометрические формы этого объекта и количественные соотношения м/у его числовыми параметрами. Исследование модели даст новую информацию об объекте, опирающуюся на принципы математической теории, сформулированные математическим языком законы природы. Математическая модель позволяет находить закономерности, давать математический анализ условий, при которых возможно решение теоретических или практических задач, возникающих при исследовании этого явления. Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Математика активно проникает во все области знаний, расширяя профессиональные возможности каждого специалиста.

2. Предмет математики. Основные этапы развития математики.

Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов естествознания и техники. Согласно Ф.Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Согласно коллективу французских математиков Н.Бурбаки: «Математика – это скопление математических структур, не имеющих к действительности никакого отношения». Бурбаки выделяют 3 типа структур, которые лежат в основе современной математики: алгебраические (конечное число операций на множестве), топологические («окрестность», предел, непрерывность) и структуры порядка (сравнение на числовых множествах - симметричность).

Революция в аксиоматике. Переход от конкретной содержательной (единственное решение) к абстрактной аксиоматике (множество решений), а затем и к формализованной (используется язык символов и формул).

По А.Колмагорову.

1. Период зарождения математики ( до IV-Vвв. до н.э.).

Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока – в Египте, Индии, Китае. Геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор правил для вычислений. Вавилоняне умели решать квадратные уравнения и знали теорему Пифагора, египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, круга, объем усеченной пирамиды. Измерение земельных участков, составление календарей, строительство – все свидетельствует о практическом характере математики.

2. Период ( до XVIв.) – период элементарной математики.

Фалес Милетский – док-во свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. Пифагорейская школа открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование 5 типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс создал геометрическую теорию пропорций (теорию пропорциональных чисел). Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и др фигур, нашел приближенное значение числа π. Платон поставил проблему строгого построения геометрических знаний. Начала дедуктивного, аксиоматического метода были заложены древними греками. Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это поудило античных математиков к систематизации и логической последовательности изложения ее основ. К IV веку были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки как логической с/ы, в основе которой лежат аксиомы. Развитие дедуктивной теории связано с Аристотелем. Ему принадлежит основание формальной логики, оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из других на основе правил логики. Первое систематизированное дедуктивное изложение математики (геометрии) принадлежит Евклиду. Геометрическая с/а «Начала» Евклида существовала вплоть до XIX века. В Древней Греции произошел постепенный переход практической геометрии к теоретической.

3. Период создания математики переменных величин XVII – начало XIXвв.

Знаменуется введением переменных величин в аналитической геометрии Р.Декарта и созданием дифференциального и интегрального исчислений в трудах И.Ньютона и Г.Лейбница. Математика в с/е научных взглядов Ньютона была частью общей науки о природе. Разработанный им метод флюксий служил математическим аппаратом для изучения движения и связанных с ним понятий скорости и ускорения. Математические работы Лейбница тесно связаны с его философскими воззрениями. В частности с созданием универсального метода познания, «всеобщей характеристикой». Математику Лейбниц мыслил как науку об отражении возможных связей, зависимостей элементов, отношений в виде формул, дифференциального исчисления, в основе которого лежало понятие бесконечно малой величины. Все это позволяло решать многие задачи геометрии, физики, механики, прикладных наук. Лишь во второй половине XIX века, когда была создана теория действительного числа, стало возможным построить здание математического анализа на строго логической основе. Основным источником развития математики до середины XIX были запросы практики и физики (механики и оптики). Математические теории отражали количественные (метрические) характеристики процессов.

4. Современный период. Середина XIX века – наши дни.

Накопленный в 17 и 18 вв. фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием. Новые теории стали возникать также из внутренних потребностей самой математики: развитие теории функций, теории групп, связанной с проблемой разрешимости алгебраических уравнений в радикалах создание неэвклидовых геометрий. Шло значительное расширение области применения математики, возросли потребности техники в математике (баллистика, машиностроение). Было усиленное внимание к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений, построение строгой с/ы определений и доказательств, критическое рассмотрение логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Шло расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности ее теорий.

3. Аксиоматический метод построения научной теории.

Благодаря открытиям Н.Лобачевского возникла новая геометрия и новое понимание аксиоматического метода для ее обоснования. Сущность аксиоматического метода состоит в том, что все объекты исследования достигшие уровня зрелости достаточного для оформления в теорию прибегают к аксиоматическому методу. Это можно описать следующим образом: 1. Строится абстрактная теория. В ее основании лежат термины двоякого рода: одни обозначают элементы одного или нескольких множеств, другие - отношения между элементами. Этим терминам пока не приписывается содержательный смысл. Устанавливаются аксиомы, которым должны удовлетворять термины. Из аксиом выводятся теоремы. 2. Терминам абстрактной теории приписывается содержательный смысл. Теперь они выражают понятия, имеющие наглядное, осязательное содержание. Система полученная путем приписывания содержательного смысла абстрактной теории называется моделью или интерпретацией этой теории. Благодаря аксиоматическому методу решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную формально-логическую систему; новый взгляд на аксиоматический метод изменил представления о геометрии как полуэмпирической науке.

4. Геометрия Евклида. Неевклидовы геометрии.

Евклид (4-3 до н.э.) – крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии. Состоят из 13 книг (глав):

1. I-VI – планиметрия

2. VII-IX – арифметика в геометрическом изложении

3. X – несоизмеримые отрезки

4. XI-XIII – стереометрия

В «Начала» были включены не все сведения, известные геометрии (теория конических сечений). Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты (5) и аксиомы (7). Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. Однако многие понятия включают понятия, определения которым нет, список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем (нет аксиом порядка, движения, непрерывности).

Неевклидовы ге-ометрические с/ы.

Н.Лобачевский (18-19вв.) открыл новую геометрию. Гаусс (18-19вв.) высказал эту идею еще в 1816г. в частных письмах. Я.Бойяи опубликовал идею в 1831г. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899г. Гильберт:

• Аксиомы связи (принадлежности)

• Аксиомы порядка

• Аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения)

• Аксиома параллельности

Эти 20 аксиом относятся к понятиям «точка», «прямая», «плоскость» и к отношениям м/у ними – принадлежит, лежит, м/у и равен. Данная геометрия, построенная на этих аксиомах, называется евклидовой. Неевклидовы геометрии – это геометрические с/ы отличные от евклидовой.

7. Понятие множества. Диаграммы Эйлера-Венна.

Множество – совокупность каких-либо объектов. Г.Кантор, создатель теории множеств, определили множество как многое, мыслимое нами как единое. Объекты входящие в данное множество называются элементами множества. Элементами множества могут быть самые разнообразные предметы (буквы, числа, точки). Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а, состоящие из бесконечного числа, – бесконечные. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым. Множества обычно обозначаются большими буквами, а их элементы маленькими. Совокупность допустимых объектов называют основным (универсальным U) множеством. Множество задают либо перечислением его элементов, либо описанием свойств множества, которые четко определяют совокупность его элементов. Диаграмма Эйлера — Венна - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом.