1.2. Поток энергии волны

При распространении волн частицы среды не переносятся вместе с волной. Процесс распространения волны в каком-либо направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Допустим, что S часть фронта плоской волны распространяющейся в направлении оси Ох в некоторый момент времени t (рис. 1.2). По истечении времени ∆t фронт волны переместится на расстояние ∆l = v∆t, вследствие чего частицы среды в объеме ∆V = S∆l приводятся в колебательное движение. Они будут обладать энергией

∆W = w∆V = wvS∆t,

г

Рис. 1.2 14.34

де w – объемная плотность энергии. Можно утверждать, что за время ∆t среда через площадку S получила энергию wvS∆t. Таким образом, за единицу времени через площадку S прошла энергия

Величина dФ есть поток энергии волны через площадку S (S ориентируют перпендикулярно к направлению распространения волны). Плотностью потока энергии называют энергию, проходящую за единицу времени через единицу площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны:

_(1.10)

_{Этот вектор называют вектором Умова и Пойнтинга. Учитывая, что где n – концентрация частиц среды, um = Аω – амплитуда скорости колебаний частиц среды, плотность энергии а j ~ A2 . Распространяющиеся волны характеризуют понятием интенсивность волны I, которая пропорциональна среднему значению плотности потока, а, следовательно, I ~ A2 .}

_{В сферической волне, вызванной точечным источником колебаний, плотность потока энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника колебаний. Для доказательства допустим, что источник колебаний ежесекундно отдает в окружающую среду одну и ту же энергию, равную W. Эта энергия равномерно распределяется по шаровой поверхности фронта волны S = 4πr2, поэтому через единицу площади этой поверхности в единицу времени проходит энергия}

_{, т. е. j ~ 1/r2 , а А ~ 1/r (см. 1.9).}

1.3. Групповая скорость волны

Все реальные волны в той или иной степени отличаются от синусоидальных волн, так как энергия колебательного движения частично превращается в другие виды энергии, что ведет к уменьшению амплитуды колебаний по мере распространения волны. Уравнение плоской реальной волны можно записать в такой форме:

ξ(х, t) = А_{0 е-γх cos (ωt – kx +φ0), (13.11)}

_{где A0 е-γх – амплитуда волны, γ – коэффициент затухания. Эту волну можно представить как волну, полученную от наложения двух или большего количества синусоидальных волн с близкими частотами. Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом.}

_{В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси Ох. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы φ10 = φ20 = 0, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к дугу:}

ξ₁ = _{A0 cos (ω1t – k1x ),}

ξ₂ = _{A0 cos (ω2t – k2x ).}

_{Для результирующей волны}

ξ = ξ₁ + ξ₂ = 2А₀ cos(∆ωt - ∆kx) cos(ωt - kx),

_где

_{Таким образом, результирующая волна является плоской волной, циклическая частота ω и волновое число k которой равны полусумме соответственно циклических частот и волновых чисел синусоидальных волн, образующих пакет. Однако амплитуда этой волны не постоянна, а зависит от координаты х и времени t:}

_{A = 2A0 cos (∆ωt - ∆kx),}

_{где ∆ωt - ∆kx = φА – фаза амплитуды распространяющейся волны. Дифференцируя выражение для φА в предположении, что φА= const, получим:}

_{Или в пределе, когда ∆ω , а следовательно, и ∆k стремятся к нулю:}

_{Учитывая, что и : Так как где v – фазовая скорость волны, то}

_и

_(1.13)

_{Скорость u называют групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн в среде (т. е. когда dv/dλ = 0) их фазовые скорости v одинаковы и не зависят от λ. Поэтому в таких средах групповая скорость волн совпадает с их фазовой скоростью.}

Лекция 2