Вариант 28
В группе участников психологического эксперимента был измерен уровень агрессивности и определен тип акцентуации личности (по Леонгарду). Можно ли утверждать, что между уровнем агрессивности и акцентуацией существует зависимость? Результаты эксперимента:
№ респондента |
Уровень агрессивности |
Степень актуализации |
1 |
36 |
20 |
2 |
41 |
21 |
3 |
41 |
14 |
4 |
35 |
16 |
5 |
38 |
14 |
6 |
38 |
22 |
7 |
41 |
28 |
8 |
41 |
25 |
9 |
40 |
14 |
10 |
37 |
16 |
11 |
33 |
12 |
12 |
39 |
19 |
13 |
35 |
14 |
14 |
41 |
18 |
15 |
42 |
18 |
16 |
39 |
19 |
17 |
40 |
14 |
18 |
45 |
32 |
19 |
45 |
22 |
20 |
42 |
23 |
21 |
44 |
20 |
22 |
42 |
19 |
23 |
38 |
16 |
24 |
36 |
14 |
25 |
45 |
20 |
Теоретические сведения
Алгоритм вычисления коэффициента корреляции Пирсона
1. Вычислить
средние значения (
,
)
и стандартные отклонения (
,
)
по каждому показателю.
2. Построить
столбец значений, которые вычисляют
попарные произведения
.
3. Найти сумму
по столбцу произведений (
).
4. Вычислить коэффициент корреляции Пирсона по формуле:
(5.1).
5. Вычислить коэффициент корреляции Пирсона с помощью статистической функции CORREL.
6. Сравнить полученный коэффициент корреляции Пирсона с критическим значением, которое найти в следующей таблице:
Критические значения коэффициента линейной корреляции Пирсона
n |
p |
n |
p |
n |
p |
|||
0,05 |
0,01 |
0,05 |
0,01 |
0,05 |
0,01 |
|||
5 |
0,878 |
0,959 |
17 |
0,482 |
0,606 |
29 |
0,367 |
0,471 |
6 |
0,811 |
0,917 |
18 |
0,468 |
0,590 |
30 |
0,361 |
0,463 |
7 |
0,754 |
0,875 |
19 |
0,456 |
0,575 |
31 |
0,355 |
0,456 |
8 |
0,707 |
0,834 |
20 |
0,444 |
0,561 |
32 |
0,349 |
0,449 |
9 |
0,666 |
0,798 |
21 |
0,433 |
0,549 |
33 |
0,344 |
0,442 |
10 |
0,632 |
0,765 |
22 |
0,423 |
0,537 |
34 |
0,339 |
0,436 |
11 |
0,602 |
0,735 |
23 |
0,413 |
0,526 |
35 |
0,334 |
0,430 |
12 |
0,579 |
0,708 |
24 |
0,404 |
0,515 |
36 |
0,329 |
0,424 |
13 |
0,553 |
0,684 |
25 |
0,396 |
0,505 |
37 |
0,325 |
0,418 |
14 |
0,532 |
0,661 |
26 |
0,388 |
0,496 |
38 |
0,320 |
0,413 |
15 |
0,514 |
0,641 |
27 |
0,381 |
0,487 |
39 |
0,316 |
0,408 |
16 |
0,497 |
0,623 |
28 |
0,374 |
0,479 |
40 |
0,312 |
0,403 |
Алгоритм вычисления коэффициента ранговой корреляции Спирмена
1. Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные X и Y.
2. Проранжировать значения переменной X, начисляя ранг 1 наименьшему значению, в соответствии с правилами ранжирования. Занести ранги в третий столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.
3. Проранжировать значения переменной Y, в соответствии с теми же правилами. Занести ранги в пятый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.
4. Подсчитать разности d между рангами X и Y по каждой строке таблицы и занести в шестой столбец таблицы.
5. Возвести
каждую разность в квадрат:
.
Эти значения занести в седьмой столбец
таблицы.
6. Подсчитать
сумму квадратов
.
7. При наличии одинаковых рангов рассчитать поправки:
(5.2)
(5.3)
где а – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду X; b – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду Y.
8. Рассчитать
коэффициент ранговой корреляции
по формуле:
а) при отсутствии одинаковых рангов
(5.4)
б) при наличии одинаковых рангов
(5.5)
где
– сумма квадратов разностей между
рангами;
и
– поправки на одинаковые ранги;
n – количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании.
9. Определить по Таблице критических значений ранговый коэффициентов корреляции Спирмена для данного n. Если , превышает критическое значение или, по крайней мере, равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.
Критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена
n |
p |
n |
p |
n |
p |
|||
0,05 |
0,01 |
0,05 |
0,01 |
0,05 |
0,01 |
|||
5 |
0,94 |
– |
17 |
0,48 |
0,62 |
29 |
0,37 |
0,48 |
6 |
0,85 |
– |
18 |
0,47 |
0,60 |
30 |
0,36 |
0,47 |
7 |
0,78 |
0,94 |
19 |
0,46 |
0,58 |
31 |
0,36 |
0,46 |
8 |
0,72 |
0,88 |
20 |
0,45 |
0,57 |
32 |
0,36 |
0,45 |
9 |
0,68 |
0,83 |
21 |
0,44 |
0,56 |
33 |
0,34 |
0,45 |
10 |
0,64 |
0,79 |
22 |
0,43 |
0,54 |
34 |
0,34 |
0,44 |
11 |
0,61 |
0,76 |
23 |
0,42 |
0,53 |
35 |
0,33 |
0,43 |
12 |
0,58 |
0,73 |
24 |
0,41 |
0,52 |
36 |
0,33 |
0,43 |
13 |
0,56 |
0,70 |
25 |
0,40 |
0,51 |
37 |
0,33 |
0,43 |
14 |
0,54 |
0,68 |
26 |
0,39 |
0,50 |
38 |
0,32 |
0,41 |
15 |
0,52 |
0,66 |
27 |
0,38 |
0,49 |
39 |
0,32 |
0,41 |
16 |
0,50 |
0,64 |
28 |
0,38 |
0,48 |
40 |
0,31 |
0,40 |
Пример
Проводилось исследование зависимости успешности в профессиональной деятельности психолога от уровня сформированности эмпатии:
Профессиональная успешность (x) |
9 |
7 |
5 |
6 |
6 |
3 |
6 |
8 |
3 |
4 |
Степень выраженности эмпатии (y) |
31 |
24 |
22 |
25 |
24 |
19 |
24 |
27 |
17 |
13 |
Вычислить коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена.
На основании алгоритма вычисления в ячейке В15 по формуле (5.1) был найден коэффициент корреляции, а в ячейке С15 с помощью встроенной статистической функции CORREL (в Excel – КОРРЕЛ).
В результате вычислений получено значение коэффициента корреляции – 0,893. По таблице критических значений для n=10 выбираем значение, которое чуть меньше эмпирического, т.е. 0,893. Это значение 0,765 и оно находится в столбце со значением уровня достоверности р=0,01, поэтому мы приходим к выводу, что полученный коэффициент корреляции на уровне высокой статистической значимости (р≤0,01) достоверен. Уровень связи – сильная и прямая.
Вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Для этого построим таблицу:
Совет! Для определения ранга значения, которое входит в выборку можно воспользоваться двумя статистическими функциями COUNT (в Excel – СЧЁТ) и RANK (в Excel – РАНГ). Выражение, которое «правильно» вычисляет ранг, имеет такой вид:
=(COUNT(ряд)+1-RANK(значение;ряд;1)-RANK(значение;ряд;0))/2+RANK(значение;ряд;1)
Например, в ячейке С2 находится формула:
=(COUNT(B$2:B$11)+1-RANK(B2;B$2:B$11;1)-RANK(B2;B$2:B$11;0))/2+RANK(B2;B$2:B$11;1)
Для определения повторяющихся рангов необходимо их упорядочить. Но можно воспользоваться функцией, которая находит наибольшее 1-е, 2-е и т.д. n-е по порядку значение ранга. Это функция SMALL (в Excel – НАИМЕНЬШИЙ). С помощью этой функции мы получили возможность упорядочить ранги в порядке возрастания и определить частоту повторяемых рангов (см. рисунок). В ячейке I2 находится формула: =SMALL(C$2:C$11;H2)
Так как, мы имеем повторяющиеся ранги, то в данном случае воспользуемся формулой (5.5).
Рассчитаем поправки. Для показателя X дважды встречается ранг 1,5 и трижды – 6, поэтому:
Для показателя Y трижды встречается ранг 6, поэтому:
Найдем значение коэффициента Спирмена:
По таблице критических значений, фрагмент которой представлен, для n=10 выбираем значение, которое чуть меньше эмпирического, т.е. 0,92. Это значение 0,79 и оно находится в столбце со значением уровня достоверности р=0,01, поэтому мы приходим к выводу, что полученный коэффициент корреляции на уровне высокой статистической значимости (р≤0,01) достоверен. Уровень связи – сильная и прямая.