2.1.1 Основные положения мсс

Механика сплошной среды (МСС) — обширная часть механики, посвященная движению газообразных, жидких и твердых деформируемых тел. В теоретической механике изучаются движения материальной точки, дискретных систем материальных точек и абсолютно твердого тела. В механике сплошной среды с помощью и на основе методов и данных, развитых в теоретической механике, рассматриваются движения таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно, сплошным образом, и расстояния между точками которых, во время движения, меняются [1].

Для МСС в исследованиях поведения материалов важно поведение не отдельных молекул, а лишь материала как целого. В этих случаях при объяснении наблюдаемых макроскопических процессов не учитывают молекулярную структуру вещества, а предполагают, что оно непрерывно распределено по всему занимаемому им объему и целиком заполняет этот объем. Такая концепция сплошности вещества является основным постулатом механики сплошной среды (континуума). В пределах ограничений, при которых гипотеза сплошности оправдана, эта концепция обеспечивает основу для единого изучения поведения твердых тел, жидкостей и газов. Принятие гипотезы сплошности как основы для математического описания поведения материалов означает, что поля величин, таких, как напряжение и перемещение, выражаются кусочно-непрерывными функциями координат и времени.

В МСС существует две точки зрения на изучение движения сплошной среды: точка зрения Лагранжа и точка зрения Эйлера.

Различие подходов Лагранжа и Эйлера заключается в том, что в первом случае следят за каждой индивидуальной точкой (или индивидуальной частицей) движущейся сплошной среды, а во втором – за каждой точкой пространства, в котором движется сплошная среда.

Например, движение воды в реке можно изучать, либо следя за движением каждой частицы воды от верховьев реки до ее устья (это будет точка зрения Лагранжа), либо наблюдая изменение течения воды в определенных местах реки, не прослеживая движения отдельных частиц воды вдоль всей реки (это точка зрения Эйлера).

Подходы к описанию движения сплошной среды с позиций Эйлера и Лагранжа с точки зрения механики эквивалентны. Имея описание движения среды по Лагранжу, можно перейти к описанию по Эйлеру, и наоборот.

Использование того или другого подхода определяется спецификой решаемой задачи механики сплошных сред.

2.1.2 Численное моделирование в мсс

Сегодня практика выдвигает перед учеными-прикладниками различного рода задачи, полное исследование которых может быть проведено в большинстве случаев лишь численным путем или с помощью тщательно поставленного физического эксперимента.

В точных науках возникает много важных проблем, изучение которых связано с решением систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. МСС относится как раз к числу наук, исследующих такие явления, которые описываются уравнениями указанного типа. При этом во многих задачах приходится иметь дело с разрывными решениями, областями больших градиентов и т.п.

За последнее время ученые-вычислители внесли важный вклад в развитие МСС. Для многих режимов движения лабораторный эксперимент здесь трудноосуществим, так как требует для полного моделирования практически натурных условий. При теоретических исследованиях таких задач мы имеем дело с весьма сложными математическими моделями, решение которых без привлечения численных методов не только сейчас, но и в обозримом будущем вряд ли будет возможно. Действительно, многомерность и сильная нелинейность указанных явлений таковы, что численные подходы представляют практически единственное средство для их достаточно полного теоретического исследования. Вообще можно сказать, что одной из характерных черт современных исследований стала математизация физического познания, интенсивное применение методов математического моделирования. Вот почему важна в настоящее время разработка общих численных методик (алгоритмов) для изучения задач математической физики.

Что же такое математическое моделирование? Это по существу, определение свойств и характеристик рассматриваемого явления, процесса или состояния путем решения с помощью ЭВМ системы неких уравнений – математической модели. Важно так «сконструировать» приближенную модель, чтобы она достаточно точно отражала характерные свойства рассматриваемого явления; при этом могут быть опущены несущественные и второстепенные свойства явления с тем, чтобы приближенная математическая модель была доступна для исследования на данном уровне развития вычислительной техники.

В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической физики диктуется все усложняющимися запросами практики, а так же связана с попыткой создания более рациональных общих теоретических моделей для изучения сложных физических явлений.

Применение методов численного моделирования кажется особенно актуальным в задачах МСС, что объясняется рядом обстоятельств:

• Трудности проведения эксперимента. Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок. В тех случаях, когда физический эксперимент трудноосуществим, математическое моделирование служит практически единственным инструментом исследования. Однако, при этом ни в коей мере не должно принижаться принципиально важное значение эксперимента. Опыт всегда останется основой всякого исследования, подтверждающего (или опровергающего) схему и решение при теоретическом подходе.

• Сложность рассматриваемой системы уравнений. Глубокое проникновение численных методов в МСС объясняется также и тем, что уравнения, описывающие происходящие здесь явления, представляют собой наиболее сложную (по сравнению с другими областями математической физики) систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Определяющими условиями успеха численного эксперимента являются удачно выбранная модель явления, численный метод решения соответствующей математической задачи и способ реализации алгоритма на ЭВМ. При этом удачным является именно тот метод решения, который в определенном смысле адекватен рассматриваемому явлению.

Таким образом, выбор и построение соответствующего оптимального для данной задачи метода решения, является центральным моментом теоретических подходов и в настоящее время.

В конечном счете гладкость представляемых функций определяет успех использования того или иного алгоритма при возможно меньших затратах машинного времени. Поэтому выбор независимых переменных, различные формы записи исходной системы уравнений, определение направлений вдоль которых проводится представление функции, структура расчетных сеток – все это играет важную роль при разработке численного алгоритма.

Широкое внедрение численных методов для практических целей требует от них достаточной простоты и надежности. Итак, с одной стороны, здесь приходится иметь дело с весьма сложными математическими задачами, а с другой стороны – необходимо разрабатывать достаточно простые и надежные численные подходы, позволяющие в условиях проектных институтов и конструкторских бюро проводить серийные расчеты.

Практическая ценность численных методик определяется в первую очередь их применимостью и полученными результатами к исследованию сложных нелинейных явлений.

Все численные подходы в МСС используют дискретное представление среды: эйлеровы или лагранжевы ячейки, крупные частицы, конечные элементы. Существует много универсальных численных методик, которые применяются для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод конечных разностей. Этот численный подход более всего развит в данное время и широко используется для решения как линейных, так и нелинейных уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. Область интегрирования здесь разбивается на счетные ячейки с помощью некоторой фиксированной сетки. Производные функции по всем направлениям заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений, причем чаще всего используются так называемые неявные разностные схемы. Тогда на каждом шаге приходится решать систему линейных алгебраических уравнений, содержащих иногда несколько сот неизвестных [2].