8Вычисление определителей методом Гаусса. Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы.

1111 Вычисление определителей методом Гаусса

Итак, применим метод Гаусса для вычисления определителя ∆. При решении системы уравнений:

Ax = b

методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:

B x = β, где       Определитель detB = 1.  Элементы матрицы B получились из матрицы A с помощью следующих элементарных преобразований:  1) деления на ведущие элементы a ₁₁ матрицы A ,   матрицы  ,...,  матрицы A_n-1.  2) вычитания из строк матрицы A и промежуточных матриц   чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.  При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ведущий элемент, т.е.  .  Следовательно:  ,  т.е. определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса.  При второй операции определитель не изменится

.

2222222Требуется найти для исходной матрицы а обратную матрицу а-1

по методу исключения Гаусса.

Пример 1. Методом исключения Гаусса найдем матрицу, обратную к матрице

Решение:

К матрице А справа приписывается единичная матрица того же порядка (А|E)

Матрица (А|E) приводится элементарными преобразованиями первого и второго типов к ступенчатому виду

Последняя матрица имеет ступенчатый вид

3. Выписывается обратная матрица. Это матрица, стоящая справа в последней преобразованной матрице.

В последней матрице слева стоит единичная матрица E.

Пример 2.

Методом Гаусса найдем матрицу, обратную к матрице

.

Решение:

К матрице А справа приписывается единичная матрица того же порядка (А|E)

Матрица (А|E) приводится элементарными преобразованиями первого и второго типов к ступенчатому виду

поменяем местами вторую и третью строки

Последняя матрица имеет ступенчатый вид.

3. Полученная ступенчатая матрица элементарными преобразованиями 1-го, 2-го и 3-го типов приводится к виду, где слева будет матрица Е. Преобразования начинаются с последней строки.

К элементам второй строки прибавим элементы третьей, умноженные на 4, а к элементам первой строки прибавим элементы третьей, умноженные на 5:

Все элементы второй строки умножим на (-1)

Из элементов первой строки вычитаем элементы второй, умноженные на 2

4. Выписывается обратная матрица. Это матрица, стоящая справа в последней преобразованной матрице.

В последней матрице слева стоит единичная матрица E.

9Аппроксимация функций. Практическое значение. Интерполяция и экстраполяция. Понятие и определение. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

1. аналитический

2. графический

3. табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

А

φ(х)

ппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

φ(х)- аппроксимирующая функция.

Интерполяция – отыскание промежуточных значений величин по некоторым известны ее значениям

Экстраполяция – распределение в прошлом тенденций на будущий период, на основании анализа предыдущего

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x₀ f(x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

(x)=p_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n ,a_n-1, …a₀ , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

P_n(x_i)=y_i i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

ij

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Экстраполя́ция, экстраполи́рование (от лат. extrā — вне, снаружи, за, кроме и лат. polire — приглаживаю, выправляю, изменяю, меняю^[1]) — особый типаппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала, а не между заданными значениями.

Иными словами, экстраполяция — приближённое определение значений функции   в точках  , лежащих вне отрезка  , по её значениям в точках  .

Теорема существования и единственности.

ТЕОРЕМА 3.1 Для табличной функции 3.1 существует единственная интерполянта - полином степени не выше N.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Будем искать интерполянту F(x) в виде полинома:

P_N(x) = c₀ + c₁ x¹ + ... + c_N-1 x^N-1 + c_N x^N,

где c_i искомые коэффициенты. Используя таблицу (3.1) получим систему линейных уравнений:

c0 + c1 x0 + ... + cN x0N = PN (x0 ) = f0 ... c0 + c1 xN + ... + cN xNN = PN (xN ) = fN

(3.3)

В матричном представлении система имеет вид: Ac = f, где

Известно, что система Ac=f однозначно разрешима тогда и только тогда, когда det(A)≠0 Определителем матрицы A является известный из курса алгебры определитель Ван-дер-Монда   не равный нулю в силу условия x_i≠x_j при i≠j. Таким образом, коэффициенты c₀ , ..., c_N (то есть решение c системы (3.3)) находятся однозначно. Следовательно, интерполяционный полином существует и единствен.

Данная теорема дает один из возможных способов построения интерполяционного полинома. Но для этого требуется решить другую сложную задачу - систему линейных уравнений. Существуют более простые способы построения интерполяционного полинома, которые будут рассмотрены далее.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Введем базисные полиномы Лагранжа по формулам:

φ_i (x ) = [(x - x₀ )(x - x₁ )...(x - x_i-1 )(x - x_i+1 )...(x-x_N )]/[(x_i - x₀ )(x_i - x₁ )...(x_i - x_i-1 )(x_i - x_i+1 )...(x_i - x_N )]

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.1 Имеют место следующие равенства

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует сразу из определения базисных полиномов Лагранжа:

так как сомножитель (x_k - x_j )/(x_i-x_j ) равен нулю при j=k≠i (он присутствует в силу того, что i≠k)

Интерполяционный полином в форме Лагранжа имеет вид:

PN(x) = ∑Nj=0 fjφj(x) = f0φ0(x) + f1φ1(x) + ... + fNφN(x)

(3.4)

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.2 P_N(x_i ) = f_i , i=0, ..., N, то есть полином P_N(x) является интерполяционным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из утверждения (3.1), так как

P_N(x_i ) = ∑^N_j=0 f_jφ_j(x_i ) = f_i·1 = f_i

Интерполяционный полином в форме Лагранжа обычно применяется в теоретических исследованиях (при доказательстве теорем, аналитическом решении задач и т. п.)

Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Интерполяционный полином в форме Ньютона записывается в виде:

P_N(x) = c₀ + c₁ (x - x₀ ) + c₂ (x - x₀ )(x - x₁ ) + ... + + c_N (x - x₀ )(x - x₁ )· ... ·(x - x_N-1 ) 

где коэффициенты c_i находятся из условий (3.1):

f₀=P_N(x₀ )=c₀. Cледовательно, c₀=f₀;

...

f_i=P_N(x_i )=c₀ + c₁(x_i - x₀ ) + ... + c_i-1(x_i - x₀ )(x_i - x₁ )...(x_i - x_i-2 ) +

+c_i(x_i - x₀ )(x_i - x₁ )...(x_i - x_i-1 ).

Следовательно,