2Приближенное значение величины. Оценка точности вычисления: абсолютная погрешность, относительная погрешность. Верные, значащие цифры. Значащие цифры и верные значащие цифры числа

При решении различных прикладных задач часто ставится условие получить результат с определенной точностью ε, например   Что это значит? Точность вычисления в вычислительной математике определяется количеством цифр результата, заслуживающих доверия, а не числом десятичных знаков после запятой (см. [1, с. 34–35]).

Известно, что любое число можно представить в виде конечной или бесконечной дроби

(1.7)

где  – цифры числа  ,   – основание системы счисления, причем  ,   – некоторое целое число (старший разряд числа  ).

Если  , то, например, для числа 327,012… можно записать представление

.

В основном на практике имеют дело с приближенными числами – конечными дробями. Пусть  . Тогда, например, для числа  , состоящего из m цифр, имеет место такое представление:

(1.8)

Все сохраняемые десятичные знаки   называются значащими цифрами числа  , среди них есть равные нулю, за исключением  .

Итак, значащими цифрами числа   называют все цифры в его представлении, начиная с первой отличной от нуля слева.

Если при записи числа 237000 надо показать, что три последних нуля не являются значащими цифрами, то пишут это число следующим образом:

, или  , или  , или  .

Абсолютные и относительные погрешности для приближенных вещественных чисел тесно связаны с очень важным понятием верных значащих цифр (см. [1, c. 34–35]).

Говорят, что число  имеет m верных значащих цифр, если для абсолютной погрешности числа   справедливо неравенство

,

(1.9)

где

.

 -я цифра числа   считается сомнительной. В случае, когда (1.9) выполняется при  , говорят о верных значащих цифрах числа   в узком смысле слова, а когда  , то в широком смысле.

Если   , то получим, что

.

Абсолютная погрешность

Найдем по графику функции y = x² её приближенное значение при x = 1.5  если x = 1.5, то y ≈ 2.3  По формуле y = x² можно найти точное значение этой функции:  если x = 1.5, то y = 1.5² = 2.25  Приближенное значение отличается от точного на 0.05, так как 2.3 - 2.25 = 0.05.  Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.  Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.  Если x ≈ a и абсолютная погрешность этого этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то числа a называют приближенным значением x с точностью до h.  Точность приближенного значения зависит от многих причин. В частности, если приближенное значение получено в процессе измерения, то точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. 

Относительная погрешность

При измерении (в сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили результаты:  b≈0.4 с точностью до 0.1  l≈100.0 с точностью до 0.1  Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0.1. Однако 0.1 составляет существенную часть числа 0.4 и ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого. Для оценки качества измерений используется относительная погрешность приближенного значения.  Определение: относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.