24)Функционалдық тізбектер мен қатарларды мүшелеп дифференциалдау.
Теорема. Егер [a, b] кесіндісінде әрбір fn(x) функциясының fn’(x) туындысы бар және бұл {fn’(x)} туындылар тізбегі [a, b] кесіндісінде бірқалыпты жинақты, ал {fn(x)} тізбегі [a, b] кесіндісінің ең болмағанда бір x0 нүктесінде жинақты болса, онда {fn(x)} тізбегі белгілі бір f(x) шектік функциясына бүкіл [a, b] кесіндісінде бірқалыпты жинақты әрі бұл тізбекті мүшелеп дифференциялдауға болады, яғни бүкіл [a, b] кесіндісінде f(x) шектік функциясының {fn(x)} функциялық тізбегінің шегі болатын f ’(x) туындысы бар.
Дәлелдеуі.
Ең алдымен {fn(x)}
тізбегінің [a, b] сегментінде бірқалыпты
жинақты екенін дәлелдейік. {fn(x)}
тізбегінің х0
[a
,b] нүктесінде жинақтылығы мен {fn’(x)}
тізбегінің [a, b] кесіндісінің бірқалыпты
жинақтылығынан
( |fn+p(x0)
–fn
(x0)
|)<
⋀
( | f ‘n+
p(x)
–f ’n
(x)
| <
[
a ,b] ) (1) Айталық
х [ a ,b] кесіндісінің кез келген нүктесі
болсын. Онда барлық n, p
нөмірлерінде fn+p(t)
–fn
(t)
функциясы [ x0
,
x] кесіндісінде Лагранж теоремасының
барлық шарттарын қанағаттандырады ,
сондықтан [ x0
,
x] кесіндісінен
[
fn+p(x)
–fn
(x)
] – [ fn+p(x0)
–fn
(x0)
] = [f n+
p’(
)
–f n
‘(
)](x-x0)
теңдігі орындалады. Енді |x-x0|
болғандықтан, мұнан және ( 1) теңсізхдіктерден
|fn+p(x)
–fn
(x)|<
Ал бұл Коши критерийі бойынша {fn(x)}
тізбегінің [ a ,b] кесіндісінде бірқалыпты
жинақты екенін көрсетеді.Оның шектік
функциясын f(x) арқылы белгілейік. Енді
бізге
кесіндісінің кез келген х0
нүктесінде f(x) функциясының туындысының
бар және ол туынды {f n
‘(x)}
тізбегінің шегі екенін ғана көрсету
керек. Ол үшін x0
нүктесінің
(x0
)⊂[a,
b] болатындай
маңайын аламыз ( егер x0
шеткі
нүкте, мысалы
x0=a
болса , онда маңай үшін [a, a+
жарты
маңайын аламыз). {
x
} арқылы 0<
x
|<
( егер a<x
0<b
болса), 0<
x
<
(егер x0=a
болса ), -
<
x
<
(егер x0=l
болса) шарттарын қанағаттандыратын
барлық
x
сандар жиынын белгілейміз және
x
аргументінің функциялар тізбегі
x)
=
осы {
x
} жиынында бірқалыпты жинақталатынын
дәлелдейміз. {f n
‘(x)}
тізбегінің бірқалыпты жинақтылығынан
(
|f ’n+p
(x) –f ‘n
(x)
|<
)
{
x
} жиынынан
x
алып [ x0
,
x0
+
x
] сегментінде fn+p(t)
–fn
(t)
функциясына Лагранж теоремасын
қолдансақ,
n+p(
x)
–
(
x)=
= f n+p’(x0+
)
–fn’
(x0+
)
бұған
(2) қолдансақ |
n+p(
x)
–
(
x)|
<
{
x
}
Сонымен
Коши критерийі бойынша, бұл
x)
} тізбегі {
x
} жиынында бірқалыпты жинақты. Ал бұл
x)}
тізбегіне
x
=0 нүктесінде мүшелеп шекке көшу теоремасын
пайдалануға мүмкіндік береді. Демек
x)}
тізбегінің шектік функциясы болатын
Функциясының
x
нөлге ұмтылғанда шектік мәні бар және
=
=
=
=
=
Бұл
функциясының
нүктесінде туындысы бар және ол
екенін дәлелдейді. Теорема дәлелденді.
26. Дәрежелік қатарды мүшелеп интегралдау және дифференциалдау.
1-теорема.
Егер мына қатардың a0+
=
a0+a1x+
a 2x2
+……+
a n
x
n
+….
(1)
Жинақталу радиусы R, ал х айнымалысы |x|< R шартын қанағаттандырса, онда (1) қатарды [0, x] кесіндісінде мүшелепинтегралдауға болады және мүшелеп интегралдаудан шыққан қатардың да жинақталу радиусы бастапқы қатар жинақталу радиусына тең.
Дәлелдеу. |x|< R болса, онда | x|<r <R шартын қанағаттандыратын r табылады. Ал
қатар [-r , r] кесіндісінде бірқалыпты жинақты, демек, [0, x] кесіндісінде де бірқалыпты жинақты. Онда бұл қатарды [0 , x] кесіндісінде мүшелеп интегралдауға болады және оны интегралдаудан
a0x
+
x2
+
…. +
x
n
+ …. Дәрежелік қатарын аламыз. Мұның
жинақталу радиусы
(
2) Тізбегінің жоғарғы шегінің кері
шамасына тең. Ал (2) тізбектің жоғарғы
шегі мына {
}, n=1,2..... тізбек шегіне тең, өйткені
,
=
=
= =
Теорема дәлелденді. 2-теорема. (1) дәрежелік қатарды жинақталу аралығында мүшелеп дифференциалдауға болады. Мүшелеп дифференциалаудан шыққан қатардың жинақталу радиусы бастапқы қатардың жинақталу радиусына тең. Дәлелдеу. (1) қатарды мүшелеп дифференциалаудан шыққан a1+2a2x+…..+ nanxn-1+ (n+1) an+1 x n +…...
қатардың
жинақталу радиусы
Тізбегінің жоғарғы шегінің кері шамасына
тең. Ал ( 3) тізбектің жоғарғы шегі келесі
тізбектің жоғарғы шегіне тең {
}, n=1,2..... , өйткені
=
=
= =
.
Теорема дәлелденді.