17.Даламбер белгісі. Коши белгісі. Мысал:

Даламбер белгісі. Оң мүшелі қатары берілсін. А) егер қайсібір 0 1 саны мен m номері үшін болғанда болса, онда қатары жинақталады; б) егер белгілі бір номері үшін болғанда болса, онда қатар жинақталмайды.

Дәлелдеуі: а) жағдайында жалпы,

(k=1,2,…) болады. 1 болғандықтан қатары жинақталады, демек, салыстыру теоремасы бойынша +… қатары да жинақталады, ал бұл қатарының қалдық қатары. Сөйтіп, қатары жинақталады. Б) жағдайында әр үшін болады, демек 0< ..., сол себептен -/→0 (n→ ). Сөйтіп, қатар жинақталуының қажетті шарты орындалғандықтан, қатары жинақталмайды. Теорема дәлелденді. Мысал: ;

= = = , яғни q= <1, бұл қатар Даламбер белгісі бойынша жинақталған.

Коши белгісі. Теріс емес мүшелі қатары беріліп, шегі бар болсын. Бұл жағдайда: а) егер 1 болса, онда қатары жинақталады; б) егер 1 болса, онда қатары жинақталмайды; в) 1болса, онда қатары жинақталуы не жинақталмауы белгісіз болып табылады: 1 болатындай жинақталатын да, жинақталмайтын да қатарлар бар.

Дәлелдеуі: а) 1 болсын. Онда үшін болады. Шек анықтамасы бойынша осы бойынша болғанда 1 болатындай номері табылады. Бұдан болады, ол 0 1 болғандықтан, қатары жиинақталады, демек, салыстыру теоремасы бойынша қатары да жинақталады.

б) 1 болсын. Онда үшін болады. Тағы да шек анықтамасы бойынша, сол 1 болатындай номері табылады. Бұдан, болады, ал 1 үшін болғанды қтан, . Қатардың жинақталуынынң қажетті шарты болатын =0 теңдігі орындалмағандықтан, қатары жинақталмайды.

Мысал: болсын. Мұнда = =0 демек, қатар жинақталады.

18.Абсолют және шартты жинақталатын қатарлар.

сандық қатары берілсін. Егер осы қатардың әр мүшесін оның абсолютті шамасына алмастырғанда пайда болатын теріс емес мүшелі қатары жинақталса, онда қатары абсолютті жинақталады дейді.

Теорема. Абсолютті жинақталатын қатар жинақталады.

Дәлелдеуі: теорема шарты бойынша қатары жинақталады, демек, Коши критерийі бойынша әр саны үшін болған сайын болатындай саны табылады. Дәл осындай кез келген үшін , демек, тағы да Коши критерийі бойынша қатары жинақталады. Теорема дәлелденді.

Егер қатары жинақталмаса, онда абсолютті емес немесе шартты жинақталады дейді.

19. Раабе белгісі. Гаусс белгісі. Мысал

Раабе белгісі. Егер мүшелері оң (1) қатар үшін барлық n N нөмірінен бастап n(1- ) болса , онда (1) қатар жинақты , ал барлық n N үшін n(1- ) (2) болса онда (1) қатар жинақсыз. Д/у: үшін (1),(2) теңсіздіктеріне сәйкес былай

- , - (3) Жазайық. Ал q болғандықтан, q 1 теңсіздігін қанағаттандыратын саны табылады. Онда Маклорен формуласы бойынша (1+x) = 1+ Мұнда x= - десек , - ) = - + 0( ). (4) Ал ., x->0, шексіз аз шама болғандықтан , белгілі бір Nнөмірінен бастап q- . (5) Енді (4) пен (5) салыстырып - ) - , n , (6) теңсіздігін аламыз. Мұнан (1)мен (6) салыстырып , - , n .

Гаусс белгісі. Айталық мүшелері оң (1) қатардың мүшелерінің қатынасы үшін

, +ג+ + өрнектеуі орындалсын , мұндағы ג , – тұрақтылар, шектеулі шама , яғни | K. Егер ג>1 немесе ג =1, >1 болса , онда (1) қатар жинақты , егер ג<1немесе ג=1,, 1 болса ,онда (1) қатар жинақты емес. Д/у: ג>1, ג<1 жағдайларында Даламбер белгісіне келтіріледі, өйткені = .Ендіג=1 болсын , онда n(1- )= және = . Демек , Раабе белгісіне келтіріледі.