20. Абель теңсіздігі. Дирихле белгісі. Абель белгісі. Мысал

Абель белгісі.1-теорема. Егер {U_n} тізбегі монотонды және шектеулі , ал Егер _n қатары жинақты болса , онда (1) қатар жинақты. Д/у: Теорема шартынан М саны табылып , барлық n=1,2,… үшін | U _n | Mтеңсіздігі орындалатыны айқын. Ал _n қатарының жинақтылығынан : _n+k | ) . Сонымен бірге Абель теңсіздігінен _n+kV_n+k| (|U_n |+ 2|U_n+p| ) .

Сонда , Коши критерийі бойынша , бұдан (1) қатар жинақтылығы шығады.

Ескерту: Абель белгісін Дирихле белгісінің салдары ретінде де қарауға болады. Шынында да ,{U_n} тізбегінің монотондығы мен шектеулілігінен U= шегі бар , демек ,W_{n =} U_n – U тізбегі монотонды нөлге ұмтылады. Ал қатарының дербес қосындылары шегі шектеулі , себебі бұл қатар жинақты. Сондықтан Дирихле белгісі бойынша _nV_n қатары жинақты. Бірақ WV = U_nV_n-U_n V_n және V_n= _nқатары жинақты. Сонда екі жинақталатын қатар қосындысы ретінде V_n= _nV_n + _nқатары жинақты.

Дирихле белгісі. Егер _n (1) Қатарында {U_n} тізбегі нөлге монотонды ұмтылса , ал _n қатарының {В_n} дербес қосындылар тізбегі шектеулі болса , онда (1) қатар жинақты. Д/у: {В_n} тізбегінің шектеулігінен M>0 саны табылып , барлық n=1.2…. үшін |B_n | теңсіздігі орындалады. Сонда _I | = |B_n+p – B _n-1 | |B_n+p| +| B _n-1 | 2M (1) Ал _n =0 шартынан : кез келген саны үшін N – нөмірі табылып, барлық үшін | U _n | (2) Теңсіздігі орындалады. Енді үшін _i қосындысына (1), (2)- теңсіздіктерін ескеріп , Абель теңсіздігін қолдансақ , _IB_i 2M( |U_n| +2| U _n+p | теңсіздігін аламыз. Мұнан Коши критерийі бойынша (1) қатар жинақсыздығы шығады.

23. Функционалдық тізбектер мен қатарларды мүшелеп нтегралдау.

Теорема. Егер [a , b] кесіндісінде {f_n(x)} функциялық тізбек f(x) шектік функцияға бірқалыпты жинақты және тізбектің әрбір f_n(x) мүшесі [a , b] кесіндісінде интегралданатын болса, онда f(x) шектік функция да [a ,b] кесіндісінде интегралданады және тізбекті [a ,b] кесіндісінде мүшелеп интегралдауға болады, яғни Шегі бар және ол интегралына тең. Дәлелдеуі. {f_n(x)} тізбегі [a ,b] кесіндісінде f(x) функциясына бірқалыпты жинақты болғандықтан, кез-келген санына сәйкес N( ) нөмірі табылып, барлық n N( ) және барлық х [a ,b] үшін |f_n(x) – f(x)|< (1) Енді f(x) шектік функциясының [a , b] кесіндісінде интегралданатынын көрсетейік. [a , b] кесіндісінде a=x₀<x₁<…..<x_m=b нүктелері арқылы бөлшектеу жасап W_k(f) Және W_k(f_n) символдары арқылы f(x) және f_n(x) функцияларының [x_k-1, x_k] k=1,….,m дербес сегменттеріндегі сәйкестерін белгілейік. Егер x’, x’’ [a ,b] болса, онда |f(x’)-f(x’’)| |f(x’)-f_n(x’)|+ + |f_n(x’)-f_n(x’’)|+ |f_n(x’’)-f(x’’)|. (2) Ал (1) бойынша [a ,b] |f(x’)-f_n(x’)|+ |f_n(x’’)-f(x’’)|< , Демек, (2) бойынша |f(x’)-f(x’’)| |f_n(x’)-f_n(x’’)|+ Мұнан және x’, x’’ нүктелері кез келген болғандықтан, таңдап алынған n үшін кез келген саны мен әрбір k=1,….,m нөміріне сәйкес W_k(f) W_k(f_n) + (3) Біздің бөлшектеуімізге сәйкес f(x) функциясының жоғарғы және төменгі қосындыларын S және s, ал f_n(x) функциясының жоғарғы және төменгі қосындыларына сәйкес S_n және s_n арқылы белгілейік.Сөйтіп (3) теңсіздікті к-ші дербес сегмент ұзындығына көбейтіп, барлық k=1,….,m, арқылы қосындыласақ,

S- s S_n - s_n + (4) Теңсіздігін аламыз. Теорема шарты бойынша [a , b] кесіндісінде f_n(x) интегралданады, яғни S_n - s_n < , онда (4) теңсіздіктен S- s< , демек, [a , b] кесіндісінде f(x) функциясы интегралданады. | – |= –f(x)]dx| –f(x)|dx = < , n N( ) аламыз.Бұдан шегінің бар жәнә оның интегралыңа тең екенін аламыз.Теорема дәлелдеденді.

Бұл теореманы функциялық қатар үшін былай айтамыз. Егер функциялық қатар өзінің S(x) қосындысына [a, b] кесіндісінде бірқалыпты жинақты және оның әрбір U_k(x) мүшесі [a, b] кесіндісінде интегралданатын болса, онда S(x) қосындысы [a, b] кесіндісінде интегралданады, әрі қатарды [a, b] кесіндісінде мүшелеп интегралдауға болады, яғни

жинақты және оның қосындысы .