Подведение итогов
Ребята, занятие закончено. Мы разобрали алгоритм решения критерия и примеры решения задач. На следующей паре будете уже решать сами. Так что повторите все как следует.
7. Конспект лабораторного занятия по математическим методам в психологии.
Тема: «χ²-критерий Пирсона».
Цель: закрепление навыков решения задач на равномерность распределения с помощью χ²-критерия Пирсона.
Время лабораторного занятия: 2 часа
Задачи:
Закрепить навыки применения χ²- критерия Пирсона для решения задач на сравнение эмпирического распределения с теоретическим равномерным и двух эмпирических распределений
Проанализировать основные ошибки, допускаемые студентами при выполнении заданий
Формирование интереса к изучаемой дисциплине.
Вступление
Добрый день, сегодня мы продолжаем изучать тему «χ²-критерий Пирсона» и продолжаем самостоятельно решать задачи.
Выполнение учебных заданий в индивидуальной форме
Организация работы в индивидуальной форме.
Каждый студент самостоятельно выполняются расчеты. Затем происходит проверка правильности ответов, исправление ошибок.
I. Среди подростков 16-18 лет, обучающихся в колледже, был проведён тест для выявления уровня тревожности. Баллы теста были переведены в три уровня: высокий, средний, низкий. Отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равномерных? Частоты распределились следующим образом:
|
Уровни тревожности |
||
Количество человек |
Высокий |
Средний |
Низкий |
14 |
25 |
10 |
|
Решение
Рассчитываем теоретическую частоту: (10+25+14)/3=16,3
Строим таблицу:
Разряды - уровни |
|
|
- |
- )² |
- )²/ |
Высокий |
10 |
16,3 |
-6,3 |
39,69 |
2,43 |
Средний |
25 |
16,3 |
8,7 |
75,69 |
4,64 |
Низкий |
14 |
16,3 |
-2,3 |
5,29 |
0,32 |
Всего |
49 |
|
|
|
7,39 |
= 7,39
df = 3 – 1 = 2
= 5,99 при р=0,05
Т. к. > принимается альтернативная гипотеза
Ответ: Распределение уровней тревожности у подростков, обучающихся в колледже, отличается от равномерного распределения.
II. Среди младших школьников был проведён тест для выявления уровня самооценки. Баллы теста были переведены в три уровня: высокий, средний, низкий. Отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равномерных? Частоты распределились следующим образом:
|
Уровни самооценки |
||
Количество человек |
Высокий |
Средний |
Низкий |
27 |
12 |
11 |
|
Решение
Рассчитываем теоретическую частоту: (27+12+11)/3=16,6
Строим таблицу:
Разряды - уровни |
|
|
- |
- )² |
- )²/ |
Высокий |
27 |
16,6 |
10,4 |
108,16 |
6,515 |
Средний |
12 |
16,6 |
- 4,6 |
21,16 |
1,274 |
Низкий |
11 |
16,6 |
- 5,6 |
31,36 |
1, 889 |
Всего |
50 |
50 |
0,2 |
|
9, 678 |
= 9,68
df = 3 – 1 = 2
= 5,99 при р=0,05
Т. к. > принимается альтернативная гипотеза
Ответ: Распределение уровней самооценки младших школьников отличается от равномерного распределения.
III. Психолог хочет узнать, действительно ли то, что учителя более предвзято относятся к мальчикам, чем к девочкам. Т.е. более склонны хвалить девочек. Для этого психологом были проанализированы характеристики учеников, написанные учителями, на предмет частоты встречаемости трех слов: «активный», «старательный», «дисциплинированный», синонимы слов так же подсчитывались. Данные о частоте встречаемости слов были занесены в таблицу:
|
«Активный» |
«Старательный» |
«Дисциплинированный» |
Мальчики |
10 |
5 |
6 |
Девочки |
6 |
12 |
9 |
Решение
Для обработки полученных данных используем критерий хи-квадрат.
Для этого построим таблицу распределения эмпирических частот, т.е. тех частот, которые мы наблюдаем:
|
«Активный» |
«Старательный» |
«Дисциплинированный» |
Итого: |
Мальчики |
10 |
5 |
6 |
21 |
Девочки |
6 |
12 |
9 |
27 |
Итого: |
16 |
17 |
15 |
n = 48 |
Теоретически, мы ожидаем, что частоты распределятся равновероятно, т.е. частота распределится пропорционально между мальчиками и девочками. Построим таблицу теоретических частот. Для этого умножим сумму по строке на сумму по столбцу и разделим получившееся число на общую суму (n).
|
«Активный» |
«Старательный» |
«Дисциплинированный» |
Итого: |
Мальчики |
(21 * 16)/48 = 7 |
(21 * 17)/48 = 7.44 |
(21 * 15)/48 = 6.56 |
21 |
Девочки |
(27 * 16)/48 = 9 |
(27 * 17)/48 = 9.56 |
(27 * 15)/48 = 8.44 |
27 |
Итого: |
16 |
17 |
15 |
n = 48 |
Итоговая таблица для вычислений будет выглядеть так:
Категория 1 |
Категория 2 |
Эмпирич. |
Теоретич. |
(Э-Т)2/Т |
Мальчики |
«Активный» |
10 |
7 |
1,28 |
|
«Старательный» |
5 |
7,44 |
0,8 |
|
«Дисциплинированный» |
6 |
6,56 |
0,05 |
Девочки |
«Активный» |
6 |
9 |
1 |
|
«Старательный» |
12 |
9,56 |
0,62 |
|
«Дисциплинированный» |
9 |
8,44 |
0,04 |
|
|
|
|
Сумма: 3,79 |
χ2= ∑(Э - Т)² / Т
df = (R - 1) * (C - 1), где R – количество строк в таблице, C – количество столбцов.
В нашем случае хи-квадрат = 3,79; df = 2.
По таблице критических значений критерия находим: при df = 2 и уровне ошибки 0,05 критическое значение χ2 = 5,99.
Полученное значение меньше критического, а значит принимается нулевая гипотеза. Вывод: учителя не придают значение полу ребенка при написании ему характеристики.
IV. Изучалась принадлежность к профессиональным типам среди учащихся 9 и 11 классов. Обследование проводилось с помощью методики Дж. Голланда. Существуют ли различия частоты встречаемости лиц, принадлежащих к реалистическому, интеллектуальному, социальному, артистическому, предпринимательскому и конвенциальному типам личности среди учащихся 9 и 11 классах?
Класс |
Количество человек |
|||||
Реал - й |
Интел - й |
Соц - й |
Артис - й |
Пред - й |
Конв - й |
|
9 класс |
5 |
1 |
8 |
5 |
9 |
7 |
11 класс |
3 |
2 |
7 |
2 |
2 |
4 |
Решение
Составляем таблицу для расчёта теоретических частот:
Разряды - типы |
Эмпирические частоты |
Суммы |
Теоретические частоты |
||
9 класс |
11 класс |
9 класс |
11 класс |
||
Реал-й |
5 А |
3 Б |
8 |
5,12 А |
2,88 Б |
Интел-й |
1 В |
2 Г |
3 |
1,92 В |
1,08 Г |
Соц-й |
8 Д |
7 Е |
15 |
9,6 Д |
5,4 Е |
Артист-й |
5 Ж |
2 З |
7 |
4,48 Ж |
2,52 З |
Пред-й |
9 И |
2 К |
11 |
7,04 И |
3,96 К |
Конвен-й |
7 Л |
4 М |
11 |
7,04 Л |
3, 96 М |
суммы |
35 |
20 |
55 |
35 |
20 |
Таким образом:
= (8×35)/55 = 5,12
= (8×20)/55 = 2,88
= (3×35)/55 = 1,92
= (3×20)/55 = 1,08
= (15×35)/55 = 9,6
= (15×20)/55 = 5,4
= (7×35)/55 = 4,48
= (7×20)/55 = 2,58
= (11×35)/55 = 7,04
= (11×20)/55 = 3,96
= (11×35)/55 = 7,04
= (11×20)/55 = 3,96
Строим таблицу для расчёта χ²-критерия Пирсона:
Ячейки |
|
|
- |
- )² |
- )²/ |
А |
5 |
5,12 |
-0,12 |
0,01 |
0,002 |
Б |
3 |
2,88 |
0,12 |
0,012 |
0,003 |
В |
1 |
1,92 |
-0,92 |
0,85 |
0,443 |
Г |
2 |
1,08 |
0,92 |
0,85 |
0,787 |
Д |
8 |
9,6 |
-1,6 |
2,56 |
0,267 |
Е |
7 |
5,4 |
1,6 |
2,56 |
0,474 |
Ж |
5 |
4,48 |
0,52 |
0,27 |
0,06 |
З |
2 |
2,52 |
-0,52 |
0,27 |
0,107 |
И |
9 |
7,04 |
1,96 |
3,84 |
0,545 |
К |
2 |
3,96 |
-1,96 |
3,84 |
0,969 |
Л |
7 |
7,04 |
-0,04 |
0,002 |
0 |
М |
4 |
3,96 |
0,04 |
0,002 |
0 |
суммы |
55 |
55 |
0 |
|
3, 657 |
= 3,66
df = (6 – 1)×(2 – 1) = 5
= 11,07
Т. к. < принимается нулевая гипотеза
Ответ: Не существует достоверных различий частоты встречаемости лиц, принадлежащих к реалистическому, интеллектуальному, социальному, артистическому, предпринимательскому и конвенциальному типам личности среди учащихся 9 и 11 классах.