Тема 4 Рынок ценных бумаг

1. Инвестор намерен за счет сбережений сформировать портфель из двух разновидностей ценных бумаг. Первая из них имеет: r₁ = 3,4 % и у² = 3. Вторая соответственно r₂ = 2 % и у ² = 6,5. Отношение инвестора к риску представлено функцией полезности U = 3r_р — у_p ², где r_р и у_p ² соответственно доходность и степень риска портфеля.

Определить оптимальную структуру портфеля для инвестора.

Решение:

Представим доходность портфеля как функцию от его структуры:

,

где n1 – доля первого вида бумаг в портфеле:

Выразим степень риска портфеля как функцию от его структуры

или

Функция полезности достигает максимума при условии или 56,2 – 19rp = 0, откуда

r_p =

2. Инвестор формирует портфель ценных бумаг из облигаций с гарантированной доходностью 13,5% и акций с ожидаемой доходностью 24,6% при стандартном отклонении 4.

На какую максимальную доходность портфеля инвестор может рассчитывать, если он желает, чтобы степень риска его доходности, измеренная стандартным отклонением, не превышала 2? Какова при этом должна быть структура портфеля?

Решение

Риск портфеля, составленного инвестором, определяется по формуле:

σ_p = n_A*σ_A

2=n_A*4

n_A=0.5

Доходность такого портфеля можно рассчитать по формуле:

=13,5+2(24,6-13,5)=35,7%

3.1) За какую цену можно продать облигацию номинальной стоимостью 10 тыс. р., с годовым купоном 3 тыс. р. за 6 лет до ее погашения, если в данный момент i = 10 % и покупатель ожидает, что в течение этих 6 лет рыночная ставка процента будет равна 10 % ? 2) При каком годовом доходе эта цена равнялась бы 10 тыс. р.?

Решение:

1. Текущую ценность облигации определяем по формуле;

тыс. руб.

2. Эта цена была бы равна 10 тысячам рублей, если бы у облигации был бы годовой купон 1000 руб., т.к. рыночная цена купонной облигации совпадает с её номиналом при условии d/B = i.

4. На момент понижения дисконтной ставки с 20,5 до 15 % инвестор имел пакет облигаций общей номинальной стоимостью 155 тыс. р:, обеспечивающий годовой доход 30 тыс. р. До момента гашения данных облигаций остается 5 лет.

1) На сколько изменилась текущая ценность имущества инвестора в результате снижения дисконтной ставки?

На сколько в связи с понижением ставки процента изменится ценность его накоплений к моменту гашения облигации?

Влияет ли на величину ожидаемых накоплений снижение ставки процента за год до гашения облигации?

Решение:

1. При i=20,5% текущая ценность облигации равна: 30/0,205 + (155-30/0,205)/1,205⁵ = 148 тыс. руб.

При понижении дисконтной ставки до 15% текущая стоимость облигации составит:

30/0,15 + (155-30/0,15)/1,15⁵ = 177,6 тыс. руб.

Таким образом, текущая ценность имущества инвестора возросла на (177,6-148) 29,6 тыс. руб.

2. Ценность вложения в облигации к моменту их гашения определяется по формуле:

В случае купонного дивиденда (при z=const):

При i =20,5% инвестор имел бы: (30/0,205)*(1,205⁵ – 1)+155 = 380,5 тыс.руб.

При i = 15% - (30/0,15)*(1,15⁵ – 1)+155 = 357,2 тыс. руб.

Таким образом, к моменту гашения накопления инвестора уменьшились бы на (380,5-357,2) 23,3 тыс. руб.

3. Снижение ставки за год до гашения не влияет на величину ожидаемых накоплений, т.к. при любой ставке процента инвестор будет иметь:

(30/0,205)*(1,205-1)+155 = 185 тыс. руб.

(30/0,15)*(1,15-1)+155 = 185 тыс. руб.

5. Инвестор может использовать свои сбережения для покупки акций двух фирм, А и В. Ожидаемые доходности этих акций независимы друг от друга и соответственно равны: r_а = 13,5%, r_b = 17,6% с вариациями у²_a = 10, у ²_b= 36.

Наряду с этим существует кредитный (денежный) рынок, на котором можно ссужать и брать взаймы под гарантированный процент i = 5 % .

Определить структуру имущества данного инвестора, если его функция полезности имеет вид U = 2r_v - у²_v , где r_v, у²_v — доходность и риск портфеля; cov (A, В) = 0.

Решение:

Найдем множество всевозможных портфелей из акций А и В. Для этого решим уравнение доходности акции А относительно её доли в портфеле:

Определим ожидаемую доходность портфеля

С учетом найденного значения n_a

Данная формула описывает множество всевозможных портфелей из двух данных акций. Для инвестора, не склонного к риску, эффективной область. Выбора является подмножество, полученное при сложении обоих слагаемых в выражении , т.к. только в этом случае с ростом риска увеличивается ожидаемая доходность портфеля.

Далее определим область выбора возможных структур имущества, состоящего из рассматриваемого портфеля и ссуды на денежном рынке. Для этого представим ожидаемую доходность имущества в виде функции от доходности и риска портфеля

Данное уравнение описывает линию CML. Найдем точку касания этой линии и линии

или

Тогда

, откуда и уравнение линии CML принимает вид: , откуда , а значит, функцию полезности инвестора можно представить как

Данная функция стремится к максимуму при:

Риск имущества определяется долей портфеля

Проделанные расчеты позволяют утверждать, что инвестор 0,17 часть своего имущества взял в кредит и все свое имущество держит в виде портфеля с долей акций А 74,17% и долей акций В 25,83%