Завдання 10

Статистичні дані про залежність витрат на рекламу від прибутку на деякому підприємстві протягом 15 років представлені в наведеній нижче таблиці. Вважаючи, що величина витрат на рекламу залежить від розміру отриманого прибутку необхідно оцінити параметри рівняння взаємозв’язку між обсягом витрат на рекламу і обсягом отриманого прибутку, перевірити наявність автокореляції залишків, при її наявності до оцінки параметрів регресії застосувати метод Ейткена.

Таблиця 10.1 – Статистичні дані про залежність витрат на рекламу від прибутку

Рік	Прибуток підприємства, млн.грн., X	Витрати на рекламу, тис.грн., Y
1	95	104
2	82	79
3	90	55
4	82	70
5	92	63
6	27	84
7	91	70
8	83	94
9	91	74
10	79	59
11	84	104
12	82	84
13	80	68
14	29	102
15	83	83

Розв’язання завдання.

Перш за все ідентифікуємо змінні моделі. У даному випадку залежна змінна – витрати на рекламу (Y_t), а незалежна змінна – прибуток підприємства (X_t). Звідси маємо:

(10.1)

де – стохастична складова моделі, залишки.

Економетрична модель має вигляд:

.

(10.2)

За методом найменших квадратів визначимо оцінки параметрів та , припустивши, що залишки в даній моделі некорельовані:

,

(10.3)

де – матриця, транспонована до Х.

Із даної формули отримаємо наступні значення параметрів: = 98,228; =-0,2397.

Отже, економетрична модель набуде наступного вигляду:

.

(10.4)

Наступним кроком знайдемо значення витрат на рекламу на основі побудованої раніше економетричної моделі та визначимо залишки . Значення, розраховані на основі даної моделі, наведені у таблиці 10.2.

Таблиця 10.2 – Розрахункові значення витрат на рекламу на основі отриманої економетричної моделі

Рік	Прибуток підприємства, млн. грн.,X	Витрати на рекламу, тис. грн., Y	Yоцін	Залишки
1	95	104	75,485	28,515
2	82	79	78,501	0,499
3	90	55	76,645	-21,645
4	82	70	78,501	-8,501
5	92	63	76,181	-13,181
6	27	84	91,264	-7,264
7	91	70	76,413	-6,413
8	83	94	78,269	15,731
9	91	74	76,413	-2,413
10	79	59	79,197	-20,197
11	84	104	78,037	25,963
12	82	84	78,501	5,499
13	80	68	78,965	-10,95
14	29	102	90,799	11,201
15	83	83	78,269	4,731

Для перевірки наявності автокореляції залишків застосуємо критерій Дарбіна-Уотсона, який визначається за наступною формулою:

(10.5)

Даний критерій може набувати значень із проміжку [0, 4].

Якщо залишки є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При додатній автокореляції DW < 2, при від’ємній – DW > 2.

Для даного завдання значення критерію DW = 1,85. Порівняємо значення цього критерію із табличним для α = 0,05 та n = 15. Нижня межа даного критерію 4-DW₁ = 2,64, а верхня межа – 4-DW₂ = 2,92.

Значення критерію близьке до 2 і міститься в проміжку [DW₂, 4- DW₂]. Отже, можна стверджувати, що в даній моделі автокореляція відсутня. Тому подальше проведення розрахунків за критерієм фон Неймана та застосування методу Ейткена є недоцільним [5].