Завдання 3

Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування. Визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач.

Розв’язання завдання.

Кожній задачі лінійного програмування відповідає двоїста, що формується за допомогою певних правил безпосередньо з умови прямої задачі.

Для побудови двоїстої задачі користуються наступними правилами.

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, кількість обмежень дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення, то цільова функція двоїстої задачі – на визначення найменшого значення, і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних в цільовій функції прямої задачі [3].

Перш за все зведемо пряму задачу до стандартного вигляду. Для цього другу, третю та четверту нерівність в системі обмежень помножимо на (-1), щоб змінити знак нерівності на протилежний. Пряма задача матиме наступний вигляд:

(3.1)
(3.2)

Далі складемо двоїсту задачу за наведеними вище правилами:

(3.3)
(3.4)

Оскільки дані задачі є симетричними (обмеження прямої та двоїстої задач є нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень), то будь-яку із них можна розв’язати симплекс-методом. Розв’яжемо двоїсту задачу модифікованим симплексним методом.

Перейдемо від системи нерівностей до системи рівнянь. Задача матиме вигляд:

(3.5)
(3.6)

Запишемо задачу у векторному вигляді:

(3.7)
Де (3.8)

Визначені одиничні лінійно незалежні вектори утворюють базис, і змінні задачі, що відповідають їм, називають базисними, а всі інші змінні – вільними. Їх прирівнюємо до нуля та з кожного обмеження задачі визначаємо значення базисних змінних. У такий спосіб отримуємо початковий опорний план задачі лінійного програмування. У даному випадку, прирівнявши вільні змінні до нуля, з кожного обмеження дістанемо наступні значення базисних змінних:

(3.9)

Отже, перший опорний план задачі матиме вигляд, представлений у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 – Перша симплексна таблиця задачі

Базисні змінни	Вільні члени	X1	X2	X3
X4	-8	-1	4	-1
X5	-2	4	-1	-1
F	0	4	4	6

Подальше рішення аналогічно завданню 2, далі приведені тількі наступні симплекс-таблиці.

Таблиця 3.2 – Друга симплексна таблиця задачі

Базисні змінни	Вільні члени	X1	X2	X5
X4	8	-1	-4	1
X3	-34	4	15	-5
F	-32	4	20	2

Таблиця 3.3 – Третя симплексна таблиця задачі

Базисні змінни	Вільні члени	X1	X4	X5
X2	1.2	-0.2	-1	0.2
X3	6.8	-0.8	-3	-0.2
F	-45.6	5.6	26	0.4

Отже, як бачимо, всі умови оптимальності у третій симплексній таблиці виконуються. Це значить, що оптимальний план задачі знайдено. Він має наступний вигляд:

	(3.10)
	(3.11)

Згідно із першою теоремою двоїстості, значення цільових функцій для оптимальних планів задачі дорівнюють одне одному, тому робимо висновок, що оптимальний план прямої задачі існує.

(3.12)

Компоненти вектора X* (оптимальний план прямої задачі) визначимо за першою теоремою двоїстості за наступним співвідношенням:

(3.13)

де С_баз – вектор-рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції двоїстої задачі при змінних, які є базисними в оптимальному плані;

D^-1 – матриця, обернена до матриці D, складеної з базисних векторів оптимального плану, компоненти яких узято з початкового опорного плану задачі.

Обернена матриця D^-1 завжди міститься в останній симплекс-таблиці в тих стовпчиках, де в першій таблиці містилася одинична матриця.

Отже, знаходимо компоненти вектора X*:

	(3.14)
	(3.15)

Настуним кроком перевіримо правильність розв’язання задачі за допомогою MathCad. Обов’язково треба зауважити, що через округлення можливі незначні незбіжності у значеннях цільових функцій. Розв’яжемо перш за все пряму задачу (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Розв’язання прямої задачі

Рисунок 3.2 – Розв’язання двоїстої задачі