Завдання 5

Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

Розв’язання завдання.

Одним із методів розв’язання задач нелінійного програмування є метод множників Лагранжа [4].

Цей метод використовється для розв’язання задач виду:

(5.1)

за умов:

(5.2)

де функції і диференційовані.

Ідея цього методу полягає у заміні поставленої задачі на простішу: на знаходження екстремуму складнішої функції, але без обмежень. Ця функція має назву функції Лагранжа. Вона має наступний вигляд:

(5.3)

де – деякі невідомі величини, що називаються множниками Лагранжа.

Запишемо функцію Лагранжа для поставленої задачі. Вона матиме наступний вигляд:

(5.4)

Наступним кроком знаходимо частинні похідні за всіма змінними функції L, а потім прирівнюємо їх до нуля. Отримаємо наступну систему:

(5.5)

Розв’язавши дану систему отримаємо стаціонарні точки та – стаціонарні точки. Для даної системи та .

Щоб визначити характер умовного екстремуму, за функцією Лагранжа будуємо матрицю Гессе розмірністю . Ця матриця має блочний характер:

(5.6)

де О – матриця розмірністю (m×m), що складається з нульових елементів,

Р – матриця розмірністю (m×n), елементи якої визначаються наступним чином:

(5.7)

Р′ – транспонована матриця до Р розмірністю (n×m),

Q – матриця розмірністю (n× n) виду:

, (5.8)

Для поставленої задачі матриця Гессе матиме вигляд:

0 8 8 H= 8 8 0 8 0 8

(5.9)

Розрахувавши мінори даної матриці (Δ₄ = 64, Δ₅ = 8), отримаємо незнакозмінний числовий ряд, що означає, що Х* – точка мінимуму.

Далі обчислимо значення цільової функції у цій точці.

(5.10)

Отже, використавши метод множників Лагранжа, з’ясовано, що Х*=( ) – точка мінимуму.

Для того, щоб перевірити правильність виконання даного завдання, скористаємося програмним забезпеченням MathCad (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Вирішення завдання у MathCad