15. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Понятие простого числа и взаимопростых чисел. Алгоритмы Эвклида поиска нод двух и большего числа целых чисел.
Функция
Эйлера
,
где
— натуральное число, равна количеству
натуральных чисел, меньших и взаимно
простых с ним. Названа в честь Эйлера,
который впервые использовал ее в своих
работах по теории чисел.
Числовая функция (m), для каждого целого числа m, m>1 ,представляющая собой количество чисел из совокупности чисел 0,1,…,m -1 взаимно простых с m называется функцией Эйлера. Например: (2)=1, (3)=2, (4)=2, (5)=4, (6)=2 и т.д.
Очевидно,
что если m=p
- простое число, то(p)=p-1.
Название функции (m)
происходит из следующей теоремы
Эйлера:
Для любых целых чисел а
и m,
таких, что (a,m)=1
(т.е. a
и m
взаимно простые числа) справедливо
выражение
Из
теоремы Эйлера следует малая теорема
Ферма:
Если р
- простое число и
,
то
.
Это утверждение очевидно, если вспомнить,
что для простого числа р,
.Наименьшие
из чисел
называется показателем
числа а
по
модулю m.
Существование
таких чисел
обеспечивается указанной выше теоремой
Эйлера. Если показатель числа а
по модулю m
равен
,
то
тогда и только тогда, когда
.
Показатель числа а
по
модулю
m
является делителем
числа
.
Если показатель числа a
по
модулю m
равен
,
то показатель числа ak
равен
для произвольного целого k.
В частном случае, когда показатель числа
а
по модулю m
равен
(m),
то а
называется первообразным
(примитивным)
корнем по модулю m.
Если р
– простое число, и число а
является первообразным корнем по модулю
Р,
то любой элемент b
из множества чисел 1,2,…,р
-1 имеет
однозначное представление в виде
для некоторого целого числа х
{0,1,…,р
-1}.
Число х при этом называется дискретным логарифмом (или индексом) числа b по основанию а.
Сложность вычисления дискретных логарифмов совпадает со сложностью нахождения разложения целого числа на простые сомножители и имеют exp сложность, что определяет широкое применение таких задач при построении современных криптосистем
Число
m
называется псевдослучайным
по основанию а,
если
и
(р
– простое число). Существуют составные
числа m,
являющиеся псевдослучайными для всех
а,
взаимно простых с m.
Такие числа называются числами Кармайкла.
Например,
.
Если t
различных оснований а1,…,аt
выбираются
независимо и случайно, то составное
число m
выдержит тест Ферма
i=1,…,t
с
вероятностью
Многочленом называется выражение вида
-
коэффициенты;
х – переменная;
n - степень многочлена, обозначаемая degf(x)
Теорема.
- многочлены, не все равные нулю. Тогда
существует однозначно определенный
нормативный многочлен d(x),
обладающий свойствами
1.d(x)
делит каждый многочлен
.
2.Любой
многочлен g(x),
который делит каждый из многочленов
,
делит и многочлен d(x).
Нормированный многочлен d(x) называют наибольшим общим делителем многочленов и обозначают НОД( ). Если НОД( )=1, то многочлены называются взаимно простыми. Они называются попарно взаимно простыми, если
.
Наибольший общий делитель двух многочленов (также как и двух целых чисел) можно найти при помощи алгоритма Евклида. Пусть многочлен g(x)0 и не делит многочлен f(x).
Тогда, применяя многократно алгоритм деления многочленов с остатком, получим
Т.к.
степень deg(g(x))
конечна, то процедура заканчивается за
конечное число шагов. Если старший
коэффициент последнего ненулевого
остатка
равен b,
то
.
Если
у нас более чем 2 многочлена (n>2),
то НОД(
)
при ненулевых многочленах
находят
(как и для целых чисел), применяя
расширенный
алгоритм Евклида:
сначала определяют НОД(
),
а затем находят последовательно, применяя
алгоритм Евклида,
НОД(НОД(
))=НОД(
)
и т.д.
Пример:
Найдем
НОД(
)
по алгоритму Евклида
Значит, НОД( )=1 т.е. многочлены f(x) и g(x) взаимно простые.
(1)
.
Ма́лая теоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что
Если
p — простое число, и
не делится на
,
то
Другими словами,
при делении нацело на
даёт в остатке 1.
Равносильная формулировка:
Для
любого простого
и целого :
делится на
Из теоремы Эйлера следует малая теорема Ферма: Если р- простое число и p / a, то a p−1 ≡1(mod p). Это утверждение
очевидно, если вспомнить, что для простого числа р,
ϕ ( p) = p −1.Наименьшие из чисел γ : aγ ≡1(modm), (a,m) =1
называется
показателем
числа
а
по
модулю m.
Существование
таких чисел γ
обеспечивается
указанной выше теоремой Эйлера. Если
показатель числа а
по
модулю m
равен
δ
,
то aγ
≡ aβ
(modm)
тогда
и только тогда, когда γ
= β
(modδ
) .
Показатель числа а
по
модулю m
является
делителем
числа
ϕ
(m)
. Если показатель числа a
по
модулю m
равенδ
,
то показатель числа ak
равен
для произвольного целого k. В частном случае, когда показатель числа а по модулю m равен ϕ(m), то а называется первообразным (примитивным) корнем по модулю m.
Если р – простое число, и число а является первообразным корнем по модулю Р, то любой элемент b из множества чисел 1,2,…,р -1 имеет однозначное представление в виде b ≡ ax (mod P) для некоторого целого числа х∈{0,1,…,р -1}.
Число х при этом называется дискретным логарифмом (или индексом) числа b по основанию а.
Сложность вычисления дискретных логарифмов совпадает со сложностью нахождения разложения целого числа на простые сомножители и имеют exp сложность, что определяет широкое
применение таких задач при построении современных криптосистем
Число m называется псевдослучайным по основанию а, если am−1 ≡1(mod p) и (a,m) = 1 (р – простое число). Существуют составные числа m, являющиеся псевдослучайными для всех а, взаимно простых с m. Такие числа называются числами Кармайкла. Например, m = 561 = 3⋅11⋅17, m =1105 = 5⋅13⋅17 . Если t различных оснований а1,…,аt выбираются независимо и случайно, то составное число m выдержит тест Ферма am−1 ≡1(modm) i=1,…,t с вероятностью p ≤ 2−t .
Важное значение в теории чисел и для дальнейшего изложения материалов лекционного курса имеет понятие многочлена или полинома.
Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.
Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)
Разложение натуральных чисел в произведение простых
Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.
Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.
Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел
Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.
Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.