§3. Знакопеременные числовые ряды.

1. Абсолютная и условная сходимость.

Все представленные выше достаточные признаки сходимости применимы только к рядам с положительными членами, какие мы и рассматривали до сих пор.

Перейдем к рассмотрению знакопеременных рядов.

Знакопеременным называется ряд, который содержит как положительные, так и отрицательные слагаемые. Опишем методы исследования таких рядов.

Важную информацию о поведении такого ряда можно получить, рассматривая ряд, членами которого являются абсолютные величины членов исходного ряда.

Определение. Рассмотрим ряд

,

где -- числа произвольного знака. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Другими словами, из сходимости ряда, составленного из модулей знакопеременного ряда, вытекает сходимость самого знакопеременного ряда.

Ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда, является, очевидно, положительным и, следовательно, к нему применимы все рассмотренные выше признаки сходимости положительных рядов.

Задача №1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого запишем ряд

.

Получили положительный ряд, который сходится, так как является обобщенным гармоническим при . Делаем вывод, что исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Задача №2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакопеременным, поскольку знак выражения меняется. Рассмотрим ряд, состоящий из модулей исходного ряда:

.

Получившийся положительный ряд можно исследовать на сходимость с помощью первого признака сравнения. Для любого натурального справедливо неравенство:

.

Ряд сходится, что можно показать по признаку Даламбера,

следовательно, по первому признаку сравнения положительный ряд сходится, а исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Заметим, что положительные ряды сходятся (имеют конечную сумму) за счет «достаточно быстрого» стремления к нулю общего члена ряда, для знакопеременных рядов существует еще одна причина сходимости: сумма стабилизируется за счет вычитания слагаемых. Поэтому для знакопеременных рядов может возникнуть ситуация, когда ряд, составленный из модулей, расходится, а сам знакопеременный ряд сходится. В этом случае говорят об условной сходимости.

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Примеры условно сходящихся рядов мы приведем в следующем разделе.

2. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Введем понятие знакочередующегося ряда:

Определение. Ряд, в котором соседние члены имеют противоположный знак, называется знакочередующимся. Знакочередующийся ряд может быть записан в одном из двух видов:

1) , где для всех

или

2) , где для всех

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.

Теорема (признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов).

Если для знакочередующегося ряда

или ( для всех )

выполняются два условия:

1. Модули членов ряда монотонно (нестрого) убывают:

2. Модуль общего члена ряда стремится к нулю, т.е.

,

то данный ряд сходится.

Подчеркнем, что все условия признака Лейбница являются существенными и подлежат проверке при применении признака Лейбница.

Договоримся далее по тексту ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница называть рядом Лейбница.

Можно показать, что для сходящегося ряда Лейбница верна оценка суммы этого ряда:

.

Отсюда вытекает оценка для суммы остатка ряда Лейбница (который сам является, очевидно, рядом Лейбница):

.

Последнее неравенство часто используется для приближенного вычисления суммы сходящегося ряда.

Задача №3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Покажем, что данный ряд является рядом Лейбница.

Действительно, присутствует чередование знаков, т.к.

а

1) Имеем монотонное убывание модулей членов ряда, поскольку для всех верно неравенство:

.

2) Второе условие также выполняется: .

По признаку Лейбница делаем вывод о том, что ряд сходится.

Заметим, что ряд, составленный из модулей членов исходного ряда расходится (это гармонический ряд), поэтому исходный ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится.

Задача №4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверим выполнение условий признака Лейбница.

Чередование знака обеспечивает множитель , знаменатель при этом остается больше нуля:

, для всех натуральных .

1) Из монотонного возрастания функции следует, что для всех выполняется неравенство:

, отсюда

, т. е. .

2) Справедливо и второе условие: .

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Ответ: ряд сходится (условно).

Задача №5. Исследовать на сходимость ряд . Установить тип сходимости (абсолютная или условная).

Решение. а). Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд

.

Полученный положительный ряд сравним с гармоническим рядом :

, ,

тогда

Тогда по второму признаку сравнения ряд в смысле сходимости ведет себя также как расходящийся гармонический ряд . Ряд расходится, следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

б). Исследуем ряд на условную сходимость. Воспользуемся признаком Лейбница.

Ряд -- знакочередующийся, т.к. для всех натуральных , а

.

1) , тогда

,

что и означает монотонное убывание модулей членов ряда.

2) Верно, что .

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Ответ: ряд сходится условно.

В заключение параграфа приведем две теоремы, указывающие на различие между абсолютно и условно сходящимися рядами.

ТЕОРЕМА 1

1) В абсолютно сходящемся ряде сумма всех положительных членов ряда и сумма всех отрицательных членов ряда – это конечные числа.

2) В условно сходящемся ряде сумма всех положительных членов ряда равна плюс бесконечности, а сумма всех отрицательных членов ряда равна минус бесконечности.

ТЕОРЕМА 2

1) Порядок суммирования членов абсолютно сходящегося ряда можно изменить произвольным образом. При этом ряд остается сходящимся, и его сумма не меняется.

2) Порядок суммирования членов условно сходящегося ряда можно изменить таким образом, что получившийся новый ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу или расходится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Таким образом, абсолютно сходящийся ряд близок по свойствам к конечной сумме.

Сходимость условно сходящегося ряда «зыбкая» и сильно зависит от порядка суммирования.