3. Признаки сравнения положительных рядов.

К числу достаточных признаков сходимости относятся признаки, позволяющие выяснить вопрос о сходимости некоторого ряда с помощью другого ряда, поведение которого в смысле сходимости нам известно. Такие признаки называются признаками сравнения.

Теорема 1.(первый признак сравнения рядов с положительными членами).

Если ряд с положительными членами

сравнить с другим рядом с положительными членами

,

сходимость или расходимость которого нам известна, и если начиная с некоторого номера

1) и ряд сходится, то ряд также сходится;

2). и ряд расходится, то ряд также расходится.

При использовании этого признака исследуемый ряд чаще всего сравнивается либо с бесконечной геометрической прогрессией , либо с обобщенными гармоническими рядами , поведение которых в смысле сходимости мы обсудили выше.

Заметим, что признак Даламбера является, по сути, признаком сравнения с подходящей геометрической прогрессией, правда сама прогрессия не подбирается при непосредственном применении признака Даламбера – это большое его достоинство.

Задача №8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом .

Каждый член данного ряда, начиная с , не больше соответствующего члена обобщенного гармонического ряда:

,

и поскольку ряд сходится ( ), то согласно утверждению 1) первого признака сравнения исследуемый ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задача №9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Докажем, что данный ряд расходится. Для этого используем утверждение 2) первого признака сравнения и подбирем расходящийся ряд с меньшими членами:

, ,

Поскольку для всех натуральных , то

.

Гармонический ряд расходится, следовательно, по признаку сравнения ряд также расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задача №10. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Главная особенность использования признака сравнения состоит в том, что здесь, в отличие от других достаточных признаков сходимости, необходимо делать предположение о том, сходится ряд или расходится. Докажем сходимость данного ряда. Для этого докажем, что, начиная с некоторого номера , верно соотношение

.

Применяя правило Лопиталя (дифференцирование по ) получим

значит, начиная с некоторого , функция меньше для любого .

Положим , тогда

, откуда имеем

.

, .

Обобщенный гармонический ряд сходится ( ), следовательно, по признаку сравнения ряд с меньшими членами также сходится.

Ответ: ряд сходится.

Сформулируем второй признак сравнения.

Теорема 2. (второй признак сравнения рядов с положительными членами).

Пусть даны два ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов существует, конечен и не равен нулю, то ряды одновременно сходятся или расходятся.

Задача №11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Попытаемся сравнить наш ряд с обобщенным гармоническим. Обсудим сначала, каким образом в этом случае подобрать обобщенный гармонический ряд. Очевидно, что главными в числителе и в знаменателе являются слагаемые, содержащие старшие степени переменной , именно их и оставим при подборе гармонического ряда:

.

Обозначим , .

Вычислим предел, который подтверждает, что ряды сходятся или расходятся одновременно:

.

Ряд расходится как гармонический.

Следовательно, по второму признаку сравнения исходный ряд также расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задача №12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом .

Обозначим

, , тогда

.

Ряд состоит из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и, следовательно, сходится. По обобщенному признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Ответ: ряд сходится.

Задача №13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом (при подборе ряда для сравнения мы оставляем старшие степени в числителе и знаменателе):

.

Обозначим , .

Вычислим предел

Следовательно, ряды в смысле сходимости ведут себя одинаково.

Ряд сходится, поскольку является обобщенным гармоническим, . Тогда по второму признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задача №14. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Подберем данному ряду обобщенный гармонический ряд так, чтобы ряды сходились или расходились одновременно (учтём, что тангенс малого угла примерно равен самому углу – это следствие первого замечательного предела):

.

Обозначим , , тогда

Здесь использовалась формула

.

Обобщенный гармонический ряд расходится, . Используя второй признак сравнения, делаем вывод о том, что исходный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.