6.2. «Золотое» правило распределения труда и инвестиций.

Пусть ПФ секторов являются функциями Кобба-Дугласа

.

Тогда ПТ в -м секторе можно записать, как

, (6.4)

Заменим в (6.3) получим уравнения

,

решением, которых являются стационарные значения фондовооруженностей:

; , ,

где , Откуда

, , . (6.5)

При этом народнохозяйственные ПТ секторов (удельные выпуски):

. (6.6)

И если в (6.6) подставить значения (6.5), то удельные выпуски примут вид функций от параметров распределения труда и инвестиций :

(6.7)

, ,.

Условия сбалансированности по труду, инвестициям и материалам, как и выше, записываются следующим образом:

(труд),

(инвестиции), (6.8)

(материалы).

Материальный баланс как уравнение связи между при использовании (6.7) принимает вид

(6.9)

Определим оптимальное состояний (максимальное производство предметов потребления на одного занятого), т.е.

(6. 10)

при условии, что компоненты связаны соотношениями (6.8). Решение задачи и определит «золотое» правило распределения труда и инвестиций между секторами.

Найдем максимум удельного потребления при фиксированных и . Составим функцию Лагранжа

.

Вычислим частные производные и, приравняв их к нулю

,

,

,

,

,

,

получим

(6.11)

. (6.12)

Далее вариацией добьемся выполнения материального баланса.

Подставим (6.11) и (6.12) в (6.9) получим

(6.13)

где

, ,

.

Разрешим уравнение материального баланса относительно :

. (6.14)

Подставим (6.11), (6.12) и (6.14) в (6.7) получим

(6.15)

, , поэтому удельное потребление достигает своего максимального значения в единственной точке , определяемой из уравнения , т.е.

(6.16)

Таким образом, находим точку глобального максимума

,

.

Если секторы на одном уровне технологического развития, т.е. , то уравнение (6.16) имело бы следующее решение:

, (6.17)

где определены при .

6.3. Налоги в трехсекторной экономике

6.3.1. Стоимостные балансы доходов и расходов секторов. Управлять экономикой можно путем распределения трудовых и инвестиционных ресурсов. В случае централизованной экономики это распределение осуществляется директивно, а в случае децентрализованной экономики - с помощью цен, тарифов, налогов, ставок заработной платы и других экономических инструментов. В замкнутой трехсекторной модели экономики имеется три вида деятельности - выпуски секторов. Если определены ставки налогов на единицу деятельности , то сборы налогов с сек­торов равны , и общий сбор

. (6.18)

Поскольку экономика рассматривается как замкнутая система, то валовой доход каждого сектора расходуется по следующим че­тырем основным направлениям: 1) на приобретение материалов; 2) на приобретение инвестиционных товаров (амортизации и расширения производства); 3) на выплату ЗП и стимулирующих надбавок; 4) на выплату налогов. Получим балансы доходов и расходов секторов:

(6.19)

где - цена продукции -го сектора; - ЗП с надбавками в расчете на одного занятого в -м секторе.

Стоимостные балансы (6.19) преобразуем к виду:

(6.20)

Сложим все балансы, получаем баланс предложения и спроса на предметы потребления:

.

Система балансов (6.20) может быть заменена системой:

которая после деления левой и правой частей на будет:

(6.21)

6.3.2. Модель перераспределения налогового бремени. Для моделирования этой ситуации к (6.2) добавим три стоимостных баланса (6.21) получим, что натурально-стоимостные балансы (6.2) и (6.21) связывают между собой 15 параметров: распределение труда , распределение инвестиций , цены , ставки ЗП и ставки налогов , а уравнений – 6, поэтому имеем 9 степеней свободы. Появляется инструмент для исследования протекания макроэкономических процессов.

Таким образом, экономическая система в стационарном сбалансированном состоянии имеет вид:

инвестиционный баланс

, (6.22)

материальный баланс

, (6.23)

баланс доходов и расходов 0-го сектора

, (6.24)

баланс доходов и расходов 1 -го сектора

(6.25)

баланс предложения и спроса на предметы потребления

(6.26)

Считаем, что при малых изменениях налоговых ставок ставки ЗП и, следовательно, распределение труда остаются неизменными, т.е. трудовой баланс фиксирован .

Задача: исследовать изменения в экономической системе при управляющем воздействии государства в налоговой политике.

Для трехсекторной модели экономики можно найти оптимальное стационарное состояния. С помощью этого технологического оптимума можно оценить к чему приведут изменение налоговых ставок от до при условии выполнения натуральных и стоимостных балансов.

Неизменности ставок ЗП влечет реакции секторов на изменение налоговых ставок: они пытаются так изменить свои выпуски, чтобы налогообложение осталось неизменным, что создает предпосылки для сохранения ставок ЗП, т.е. модель будет содержать условие сохранения уровня налогообложения:

, (6.27)

где - приращение налогового бремени (на одного занятого) за счет приростов налоговых ставок при первоначальных удельных выпусках назовем псевдоприращение (брутто-приращением); - приращение налогового бремени (на одного занятого) за счет изменения выпусков (в ответ на управляющее воздействие государства ) при неизменных налоговых ставках назовем базис-приращением;

Дифференцируя (6.22)-(6.26), получим уравнения для дифференциалов инвестиций и цен на продукцию , при этом являются функциями :

(6.28)

Получаем модель перераспределения налогового бремени: (6.27)-(6.28). Исследуем решение системы (6.27)-(6.28), когда ПФ секторов являются функциями Коба-Дугласа, т.е. где - параметры, тогда отраслевую производительность можно записать как Значения фондовооруженностей секторов определяются формулами (6.5). Народнохозяйственные производительности секторов:

, . (6.29)

Из соотношений (6.7) находим:

, (6.30)

Модель перераспределения налогового бремени имеет вид:

(6.31)

Шесть линейных уравнений (6.31) содержат шесть неизвестных , которые могут быть однозначно выражены через управляющее воздействие .

Подставив (6.30) во второе (6.31), получаем уравнения

(6.32)

, -доля i-го сектора в производственном по-треблении товарной продукции материального сектора, ;

Поскольку уравнения (6.32) характеризуют перераспределение инвестиций при выполнении первых двух уравнений (6.31), то при таком изменении остается одна степень свободы. Примем за свободную переменную . Тогда все коэффициенты при в (6.32) будут функциями .

Свободная переменная изменяется в диапазоне: , где представляет собой ситуацию "производство для производства" (производство предметов потребления отсутствует), a - соответствует случаю . что означает полное отсутствие фондосоздающего производства.

Подставив (6.32) в (6.30), получим

(6.34)

Подставив (6.34) в последнее уравнение (6.31), получим следующее уравнение для :

_{, ( )} (6.35)

Из последнего соотношения следует, что если , то и , и, следовательно, не происходит изменений в выпусках и структуре трехсекторной экономики; если же , то и , что представляет изменение выпусков и инвестиций, так как согласно уравнениям (6.32) и (6.34) изменение доли секторов в распределении инвестиционных товаров и удельных выпусков секторов полностью определяется .

Исследуем, какие происходят изменения в экономической системе при управляющем воздействии .

6.3.3. Моделирование реакции секторов на изменение налоговых ставок. Поведение трехсекторной экономики в части изменений распределений инвестиций и удельных выпусков секторов полностью определяется выражениями (6.32) и (6.34). Эти изменения зависят от знаков функций , в диапазоне изменения свободной переменной .

Прежде всего, заметим, что все эти функции имеют в своем составе функцию и . Поэтому в начале исследуем функцию :

.

Используя (6.7), (6.30)-(6.31) получим

. (6.36)

Будем считать, что . Так как в этом случае

,

то знак совпадает со знаком выражения в скобках в (6.36). Обозначим .

Переменные связаны соотношением

. (6.37)

Функция достигает максимальное и минимальное значение в крайних точках области (6.37), т.е.

,

,

.

Поэтому . Таким образом, при , т.е. доля потребительского сектора в расходе товарной продукции материального сектора непрерывно растет от до , а доля фондосоздающего сектора в расходе товарной продукции материального сектора убывает от 1 до 0.

Поскольку и на всем интервале , то согласно (6.32) при возрастании доли потребительского сектора в расходе продукции фондосоздающего сектора от 0 до , доля последнего в потреблении своей продукции неизменно падает, так как при . Как изменяется доля материального сектора в инвестициях? Для ответа на этот вопрос необходимо определить знак функции .

при

.

Следовательно, функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому в некоторой промежуточной точке функция обращается в нуль, то есть . Для , а для . С содержательной точки зрения - точка максимального насыщения материального сектора инвестиционными ресурсами. Из этого следует, что доля материального сектора в распределении инвестиций в начале растет ( ), затем падает ( ).

Вывод: при росте от 0 до происходит перераспределение инвестиционных товаров за счет фондосоздающего сектора в материальный и потребительский сектора, а при донором потребительского сектора по инвестициям наряду с фондосоздающим становится и материальный сектор.

Исследуем теперь поведение удельных выпусков секторов при изменении свободной переменной . Напомним, что это поведение описывается уравнениями (6.34), в которые входят функции . Заметим, что , а значит, уже известно как ведет себя эта функции. Остается исследовать функции .

Функция обладает следующими свойствами: при , , следовательно, в некоторой промежуточной точке. ; при , , , следовательно, для любого значения функция . Аналогично функция , , , значит, в некоторой промежуточной точке . Итак, при изменении от 0 до :

1. при удельный выпуск материального сектора растет до точки своего максимума , а затем падает; либо все время происходит его падение в случае ;

2. удельный выпуск фондосоздающего сектора снижается;

3)удельный выпуск потребительского сектора в начале растет, затем достигает своего максимума в точке , после чего падает. Критические точки и означают:

- точка максимального удельного выпуска материального сектора;

- точка максимального удельного выпуска предметов потребления ( при ; при ).

Рассмотрим теперь, как будет меняться производство в ситуации, если увеличить налоги, то есть .

Исследуем зависимость приращения доли инвестирования потребительского сектора от псевдоприращения, налогового бремени - уравнение (6.35).

При и , реакция экономической системы на изменение налоговых ставок зависит от знака функции, стоящей в знаменателе уравнения (6.35). Исследуем ее знак. На интервале функция , так как на этом интервале все функции, входящие в ее состав , - и меньше нуля. При возможно следующее поведение функции :

1. на всем интервале , т.е. при ;

2. функция имеет на интервале корень , такой что при , при , причем . Тогда при и при .

Какой случай имеет место быть определяется поведением функции в окрестности точки . Функция может быть использована при изучении случаев налогообложения.

Поясним это. Используя неравенство [5], [6]

(6.38)

где

можно определить какой случай налогообложения потребительского сектора по отношению к материальному и фондосоздающему имеет место. Когда выполняется (6.38), называется избыточным налогообложением потребительского сектора. Противоположный случай — недостаточным налогообложением потребительского сектора. Причем в каждом случае индикатор перераспределения инвестиционных товаров имеет определенный знак.

Таким образом, можем сделать следующие выводы:

1. При недостаточном налогообложении потребительского сектора индикатор перераспределения инвестиционных товаров отрицателен (когда на всем интервале ). Тогда из (6.35) следует, что в ситуации «перераспределение налогового бремени» всегда , иными словами, увеличение налогов всегда приводит к увеличению доли потребительского сектора в распределении инвестиционных товаров, поэтому при , при .

Следовательно, в случае недостаточного налогообложения потребительского сектора увеличение налогов приводит при к дополнительно­му оттоку инвестиционных товаров в потребительский сектор и к росту ППП, т.е. при повыше­ние налогов оказывает положительное воздействие на производство. На­против, при увеличение налогов приводит к излишнему пе­реливу инвестиционных товаров в потребительский сектор и к падению ППП. Таким образом, при повышение налогов оказывает отрицательное воздействие на производство.

2. При избыточном налогообложении потребительского сектора индикатор перераспределения инвестиционных товаров при и при из (6.35) при следует, что для ; для при этом , таким образом, при , при , при . Итак, в случае избыточного налогообложения потребительского сектора увеличение налогов приводит при к сокращению инвестирования потребительского сектора и к падению ППП. Следовательно, при повышение на­логов оказывает отрицательное воздействие на производство.

При увеличение налогов приводит к увеличению инвестирования потребительского сектора и к росту ППП. Следовательно, при повышение налогов оказывает положительное воздействие на производство.

При увеличение налогов приводит к избыточному инвестированию потребительского сектора и к сокращению ППП. Следовательно, при повышение налогов оказывает отрицательное воздействие на производство.

Наибольший практический интерес представляет случай , когда увеличение доли инвестирования потребительского сектора сопровождается увеличением его удельного выпуска при одновременном сокращении удельных выпусков материального и фондосоздающего секторов. Увеличение доли инвестирования потребительского сектора обусловливается брутто-повышением налоговых ставок при этом хотя бы один из дифферен-циалов обязательно должен быть положительным.

В таком случае действительно произойдет перераспределение бре­мени налогов. В самом деле, согласно ситуация «перераспреде­ление налогов» характеризуется равенством

,

в котором каждое из трех слагаемых задает действительное изменение налогового бремени на один из секторов. Например, если , то вместе с это означает усиление налогового бремени на потребительский сектор, т.е. . Тогда , что означает ослабление бремени налогов на материальный и фондосоздающий сектора.