10. Прямая и плоскость, их уравнения. Взаимное расположение прямой и плоскости, основные задачи на прямую и плоскость.

Уравнение прямой на плоскости.

Пусть l проходит через т.M0(x0,y0) и =(А,В)

Рассмотрим , тогда

; - ур пр проходящей через точку M0(x0,y0) и = (А,В);

Если в уравнении раскрыть скобки и , то получим Ах + Ву + С = 0 – общее ур прямой, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Если прямые ||, то ; ;

Параметрическое ур прямой :

Прямая проходящая через т M0(x0,y0,z0) || и M(x,y,z), t – параметр.

Если у этих равенств исключить t, то получим каноническое ур прямой:

;

Если прямые ||, то ; ;

Ур прямой проходящей через две данные точки:

Ур прямой с угловым коэфф-ом:

, , если прямые ||, то ; .

Раст. от т. (x0,y0) до прямой Ах + Ву + С = 0 -

Общее ур плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

Здесь + + ≠ 0 , =(А,В,C) плоскости.

При D=0 плоскость проходит через т(0,0,0).

Ур плоскости проходящей через т(x0,y0,z0) (A,B,C) : .

Ур плоскости проходящей через три точки М1,М2,М3 :

М1М∙М1М2∙М1М3=0

=0.

Прямая в пространстве – пересечение 2-х плоскостей :

_{Направляющий вектор прямой.}

_{Угол между прямыми – угол между направляющими векторами , : .}

Взаимное расположение прямой и плоскости определяется множеством решений линейной системы

: ;

l :

1) система имеет единственное решение.

2) Ø система не имеет решений.

3) система имеет бесконечно много решений.

Угол между прямой и плоскостью – угол образованный данной прямой и её проекцией на плоскость:

|| прямой l.

пл-ти

11. Алгебраические линии второго порядка, канонические уравнения, классификация.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

- эллипс,

- гипербола,

y² = 2px - парабола.

Эллипс – геометрическое множество точек, сумма расстояний от кот до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:

Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , , называются его вершинами.

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.

Число ( ) называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною ).

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и , .

Гипербола – геометрическое множество точек, модуль разности расстояний от кот. до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и – вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число , ( ) называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением : ( или ), называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , ( ).

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Парабола имеет фокус и директрису .

Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

Она имеет фокус и директрису .

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.         

Сфера радиуса Rс центром в точке M0(x0;y0;z0) имеет уравнение

Сфера:

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение

где , , -- положительные числа.         

Исследуем форму эллипсоида. Из ур-ния видно, что координаты точек поверхности ограничены: , , . Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии.

Рис.Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где , ,  -- положительные числа.         

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Рис.Изображение однополостного гиперболоида

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где , ,  -- положительные числа.        

Рис.14.14.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где , ,  -- положительные числа.         

Рис. Изображение конуса с помощью сечений

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где и -- положительные числа.         

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Рис.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где и -- положительные числа.  

Рис.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а || прямые -- образующими.  

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением

называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением

называется параболическим цилиндром.         

Рис. Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений

Рис.Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений

Рис. Изображение параболического цилиндра с помощью сечений