8. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.

Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае, (*). Т.к. при замене ряд переходит в ряд , где a_n – фиксированные комплексные числа, z₀ – комплексное число.

Теорема Коши-Адамара: Если верхний предел ⁿ√|a_n|=Λ, то при Λ=0 ряд (*)абсолютно сходиться во всей плоскости, при Λ=∞ ряд (*) сходится только при z=z₀, при 0< Λ<∞ ряд (*) абсолютно сходится в круге | z-z₀|<¹/Λ и расходится во внешней части этого круга. Область сходимости ряда (*) – круг радиуса R= ¹/Λ с центром в точке z₀. В точках границы круга ряд может как сходиться, так и расходиться.

Опредиление: Пусть f_k(z), kЄN определена на множестве E– множестве спрямляемых кривых. Ряд называется равномерно сходящимся на E₁⊂E, если он сходится на E₁ и для любого >0 найдется такое N( ): любые n>= N( ) что при всех z≤E₁ => ||< .

Свойства

Теорема1.Ряд а₀₊a₁(z-z₀)+a₂(z-z₀)²+…+a_n(z-z₀)ⁿ+… (*) с радиусом сходимости R>0 равномерно сходится в любом круге |z-z0|≤r, где r<R.

Теорема2.Если fk(z)ЄC_E1, kЄN и равномерно сходится на E₁, то сумма S(z)= непрерывна на E₁.

Теорема3.Если E₁ – спрямляемая кривая, f_k(z)ЄC_E1, kЄN, ряд равномерно сходится на E₁ и сумма ряда S(z)= , то ∫_E1 f_k(z)dz непрерывна на E₁.

9. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.

Определение: Рядом Фурье элемента по ортонормированной системе { } называется ряд вида в котором постоянные числа называемые коэффициентами ряда Фурье и определяемые по формуле .

(Доп вопоросы: Определение 1. Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если

ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением: . При этом, для выполняются аксиомы:

Определение: два элемента Евклидова простр-ва наз-ся ортогональными, если их скалярное произв-е =0.

Опр-е: Послед-ть называется ортонормированной системой, если входящие в эту послед-ть элементы попарно ортогональны и имеют норму =1.

Опр-е: Всякое Евклидово простр-во явл-ся нормированным, если ||f||= .)

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию первых n элементов ортонормированной системы { } , =const.

Теорема: среди всех сумм вида наименьшие отклонении от элемента по норме данную Эвклидова пространства имеет n-ая частная сумма ряда Фурье Элемента .

Доказательство: - = ( - , - ) = –2 + = – 2 + = - + = - . Это выражение будет принимать наименьшее значение когда 1-ое слагаемое =0, т.е. .

Следствие1: - - .

Следствие2: - = - 0 – Тождество Бесселя.

Теорема: Для элемента Евклидова пространства R и ортонормированной системы { } соотношение – называется неравенством Бесселя.

Док-во: Из не отрицательности левой части тождества Бесселя левая часть представляет собой n-ю частную сумму ряда с неотрицательными элементами, эта сумма ограничена сверху => по теореме Вейерштрассе она имеет предел. Переходя к приделу при получаем ЧТД.

Рассмотрим ряд Фурье в пространстве кусочно-непрерывных функций на ( ) по тригоном-кой системе , , ,…, , . Для функции f(x) этот ряд имеет вид: + + + ), где = , = , = .

На практике ряд Фурье используется в виде: + + ), где = , = , = .

Ортонормированная система { } называется замкнутой, если для элемента Эвклидова пространства R и для существует линейная комбинация такая что - < .

Теорема: Если ортонормированная система { } является замкнутой, то для элемента Эвклидова пространства R неравенство Бесселя переходит в равенство: = – равенство Парсеваля.

Доказательство: Фиксируем некоторые элементы и т.к. система { } является замкнутой, то . - < из следствия (1) получается - < . Тем более выполняется неравенство - < . Соединим - < с неравенством Бесселя и получаем что ряд сходится к => имеет место равенство = .

Теорема: если ортонормированная система { } является замкнутой, то для элемента ряд Фурье этого элемента сходится к нему по норме рассматриваемого учается ия ()ойе реходит в ар арвенство: 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000пространства, т.е. - = 0 .

Доказательство: непосредственно вытекает из предыдущей теоремы n-го тождества Бесселя.