7. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.

Пусть задана ф-ия w=f(z).

Дадим приращение z= x+i y. Ему соответствует приращение ф-и ΔW=f(z+ z)-f(z)

Если существует предел отношения при стремлении z к 0 по любому закону, то этот предел называется производной функции f(z) в точке z:

f ‘(z)=

Пусть f(z) = U(x, y) + i V(x, y) и z= x+i y

Тогда w = f(z+ z)–f(z) = U(x+ x, y+ y) + i V(x+ x, y+ y) –U(x, y)–i V(x, y) =

= U(x+ x, y+ y)–U(x, y) –i V(x, y) = U(x+ x, y+ y)–U(x, y)+i(V(x+ x, y+ y) –V(x, y)) = U+i V

f ’(z)=

Ф-ия имеющая производную в точке z наз-ся дифференц в этой точке.

Если ф-ия f(z) дифф в точке z, то предел

существует и не зависит от закона стремления z к 0.

В частности если Δz=Δx, то f ’(z)= = ( )=∂U∕ ∂x+i∂V∕ ∂x

Если Δz=iΔу, то f ’(z)= = ( )= –i ∂U∕ ∂y+∂V∕ ∂y

∂U∕ ∂x + i∂V∕ ∂x = –i ∂U∕ ∂y + ∂V∕ ∂y

Условие Коши-Римана (Даламбера-Эйлера) дифференцируемости ф-ии f(z):

При некоторых добавочных ограничениях, например, требуя существование полных дифференциалов функций U(x,y) и V(x,y) можно доказать, что условие Даламбера-Эйлера не только необходимые, но и достаточные для дифференцируемости функции f(z). Действительно, если функции U(x,y) и V(x,y) имеют полный дифференциал, то

U=

V=

где ₁=0, ₂=0.

= =

Используя условие Даламбера-Эйлера заменяем ∂U∕ ∂y на –∂V∕ ∂x, а ∂V∕ ∂y на ∂U∕ ∂x = =

Возьмем модуль | |= =

f ’(z)= = ( ) = =

Определение: Если однозначная функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области.

Определение: Точки, плоскости z, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называются правильными точками этой функции, а точки, в которых функция f(z) не является аналитической, в частности, точки, в которых f(z) не определена, называются особыми точками.

Связь аналитических ф-ий с гармоническими.

Теорема: действительная и мнимая части ф-ии f(z)=U+iV аналитической в некоторой области D в той же области явл-ся решениями ур-ия Лапласа

Т.е. U/ x + U/ y =0 и V/ x + V/ y =0

Док-во

Т.к. ф-ия f(z) аналит в обл D, то в этой обл выполняются условия Даламбера-Эйлера

U/ x= V/ y и U/ y= – V/ x

Продифф равенства по x и y соответственно:

U/ x = V/ y x и U/ y = – V/ x y

Правые части равны как смешанные производные => равны и левые

U/ x = – V/ y => U/ x + V/ y =0.

Решение ур-ия Лапласа наз-ся гармоническими ф-ми=>действительная и мнимая части аналитической ф-ии яв-ся гармоническими ф-иями, обратное не верно

Аналитическую ф-ию f(z)=U+iV можно получить если произвольно задав одну из гармонических ф-ий U или V c помощью условия Дамамбера-Эйлера определить вторую ф-ию.

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.