6. Криволинейный интеграл.

Рассмотрим на пл-ти XOY спрямляемую кривую L не имеющую точек самопересечения и участков самоналожения. Предположим, что кривая определяется параметрами уравнений

Предположим f(x,y),P(x,y),Q(x,y) определены и непрерывны вдоль кривой L от т. A до т. B. Разобьем [a,b] на части точками a=t₀<…<t_n=b, т.к. каждому значению t_i на кривой L соответствует точка M_i(x_i,y_i), x_i=φ(t_i), y_i=ψ(t_i), то данному разбиению отр-ка [a,b] соответствует разбиение кривой L на n дуг M₀M₁,M₁M₂,…,M_n_-1M_n. Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку N_i(ξ_i,η_i) координаты которой соответствуют некоторому значению τ_i параметра t. Обозначим Δl_i длину дуги M_i_-1M_i.

Составим суммы:

I₁= I₂= I₃= Δ=

Число I называется пределом интегральной суммы (k=1,2,3) при ∆ -> 0 , если Ɛ>0 δ>0 , что как только ∆<δ и независимо от выбора выполняется неравенство : |I_k-I|< Ɛ

Предел интегрированной суммы называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается _L∫f(x,y)dl.

Пределы интегральных сумм I₂, I₃ при ∆ -> 0 называются криволинейными интегралами второго рода и обозначаются dx , dy соответственно или криволинейным интегралом второго рода : dx + Q(x,y)dy

Физ. Смысл: криволинейного интеграла 1 рода

Пусть вдоль кривой L распределена масса с линейной плотностью f(x,y), для вычисления массы всей кривой естественно разбить эту кривую на малые участки и, считая, что на каждом участке плотность меняется мало. Положить массу каждого участка приближенно равной произведению некоторого промежуточного значения плотности на длину этого участка, в таком случае масса всей кривой приближенно равна интегральной сумме. Точное значение определяется как придел интегральных сумм. Таким образом, криволинейный интеграл первого рода дает массу кривой, линейной плотности вдоль кривой, которой равна f(x,y).

Физ. Смысл: криволинейного интеграла 2 рода

Пусть материальная точка движет из т. А в В вдоль кривой L под действием силы (x,y) имеющей компоненты Р(x,y) и Q(x,y). Для вычисления работы по такому перемещению кривую L разбивают на малые участки и, считая, что на каждом участке сила меняется мало, работу определяем на каждом участке как сумму произведения компонент силы, взятых в некоторых промежуточных точках на компонент вектора смещения. В таком случае полная работа будет приближенно равна – интегральной сумме, таким образом общий криволинейный интеграл 2 рода дает работу по перемещению материальной точки из А в В вдоль кривой L под действием силы с компонентами P(x,y), Q(x,y). Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от начала точки интегрирования, а криволин-й интеграл 2 рода зависит и имеет место рав-во:

P(x,y)dx = - P(x,y)dx

Q(x,y)dy= - Q(x,y)dy

Сведение криволинейного интеграла к определенному:

Опр.Кривая L называется гладкой, если ф-ции φ(t) ψ (t) обладают непрерывными производными на [a,b]

Опр. Особые точки кривой L это точки соответствующие такому значению параметра t для которого обе производных φ’(t) и ψ’(t) обращаются в 0.

Теорема если кривая L равная АВ является гладкой и не содержит особых точек функции f(x,y) (P(x,y),Q(x,y)) непрерывны вдоль этой кривой , то справедлива формула :

f(x,y)dl = f(φ(t),ψ(t)) dt