5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от х, т.е. , которые определены на некотором множестве X.

Если переменной придавать различные числовые значения, то будут получаться сходящиеся или расходящиеся числовые ряды. Совокупность таких значений переменной х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости. Областью сходимости ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

По аналогии с числовыми рядами определяются частичные суммы функционального ряда, предел которых определяет сумму ряда (если существует). Очевидно, что сумма функционального ряда в области сходимости является функцией от х, т.е. =S(x).

Говорят, что последовательность функций сходится равномерно к функции на множестве D, если для любого можно определить такой номер N, зависящий только от , что для любого и для всех выполняется неравенство

Ряд сходится равномерно на множестве D к сумме S(x), если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве D к функции S(x).

Теорема (Признак Вейрштрассе). Если для членов функционального ряда выполняются неравенства , где , а – некоторые числа, не зависящие от х, и при этом числовой ряд сходится, то ряд сходится на множестве D равномерно.

Теорема1. Пусть функциональный ряд равномерно сходиться на мн-ве Х к S(х) и существует , тогда ф-я S(х) имеет в т.А предельное значение, причем = = , т.е. символ lim и ∑ можно переставить местами.

Д-во: д-ем что ряд суммы b_n сходиться. В силу критерия Коши, применяемого для функционального ряда \/ε>0 N \/n>N \/p N \/x X |f_n+1(x)+...+ f_n+p(x)|< ε.

Перейдем в неравенстве к пределу при х→А, тогда |b_n+1+...+b _n+p|<= ε<2ε => получаем критерий Коши сходимости числового ряда . Оценим разность S(х) – в некоторой малой окрестности т. А

| S(х) - | = | - |<=| - | +| |+| |

Т.к. ряд сходиться, а ряд сходиться равномерно,тоε>0 N n>N | |< ε/3;| |< ε/3 Поскольку предел суммы конечного числа слагаемых = сумме пределов, то для выбранного номера N δ: | - |< ε/3, тогда | S(х)- | < ε/3+ε/3+ε/3 =ε

Теорема 2. :Если функцион-ая последовательность{f_n(х)} равномерно сх-ся на мн-ве Х к некоторой предельной ф-ии f(х) и сущест-ет , то и предельная ф-я f(х) имеет в т.а предельное значение, причем . Д-во: также как теорему1.

Теорема3. Если функции определены и непрерывны на [a,b], а ряд на этом же отрезке сходится равномерно к сумме S(x), то эта сумма будет непрерывной на отр-ке функцией.

Д-во: Если в условии теоремы1 дополнительно потребовать чтобы т.а принадлежала мн-ву Х и чтобы все фун-ии f_n (х) были непрерывны в т. а, то и S(х) будет непрерывно в т. а, действительно в этом случае b_n=f_n(а), тогда = = S(а) и эта означает что S(х) непрерывна в т а.