4. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, Коши, интегральный, Лейбница.

Рассмотрим числовую последовательность .

Выражение (1)

называется (бесконечным) числовым рядом, числа - членами ряда, - общим членом ряда, а сумма первых “n” членов - частичной суммой ряда. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм , а число S называется суммой ряда.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков):

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Критерий Коши о сходимости ряда

Для того чтобы ряд сходился необх-мо и дост-но  > 0  n>N p N |U_n+..+U_n+p|< 

Признак Коши (радикальный признак)

Пусть для ряда с неотрицательными членами существует , тогда если q<1,

то ряд сходится, если q>1, то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует , тогда если 0 l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится.

Из определения предела последовательности следует, что для любого  > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство или

1) Пусть l < 1. Выберем  настолько малым, что число q = l +  < 1, т.е.

или u_n+1 <qu_n. Последнее неравенство будет выполняться для всех n > N, т.е. для n=N+1, N+2,...: u_N+2<qu_N+1, u_N+3<qu_N+2<q²u_N+1, ... , <u_N+k<qu_N+k-1 < ... <q^k-1u_N+1.

Получили, что члены ряда u_N+2+u_N+3+...+u_N+k+... меньше соответствующих членов геометрического ряда qu_N+1+q²u_N+1+...+ +q^k-1u_N+1+... ,сходящегося при q < 1 => на основа­нии признака сравнения этот ряд сходится,а значит сходится и расс-мый ряд отличающийся от полученного на первые (n+1)членов.

2) Пусть l > 1. Возьмем  настолько малым, что l -  > 1.

Тогда из условия следует, что Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N +1, поэтому предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. не выполнен необходимый признак сходимости, и ряд расходится.

Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда будучи взяты по модулю образуют невозрастающую б.м. послед-ть, то этот ряд сходится.

Интегральный признак Коши-Маклорена.

Пусть члены ряда (1) представляют собой значения в целых точках непрерывной невозрастающей на полупрямой функции f(x): .

Тогда: 1) если сходится , то сходится и ряд (1);

2) если расходится , то расходится и ряд (1).