2. Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.

Определение. Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Производная ф-ции f(x) в точке х₀ равна скорости изменения переменной у относительно переменной х.

Ф-я у=f(x), заданная в окр-ти т.х0 называется дифференцируемой в этой точке, если её приращение представимо в окр-ти этой точки в виде у=А*x+α(x)*x, где А-постоянная независящая от x, а α - б.м.более высокого порядка ,чем x и зависящая от x, т.е.

Теорема: Функция y=f(x) диф-ма в некоторой т. в том и только в том случае когда она имеет конечную производную.

Д-во:Необходимость.

Пусть ф-ия f(x) диф-ма в т х0 т.е. у=А*x+α(x)*x, .

А теперь разделим на x.

_{. Переедем к пределу а это означает что} .

Достаточность.

Пусть ф-ия f(x) имеет конечную производную , тогда существует предел , тогда можно представить

у= *x+α(x)*x

.Ч.т.д

(Доп вопрос Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. =tg .)

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется A* .

Обозначается dy или df(x0).

Из определения следует, что dy = f(x0)x или dy = f(x0)dx.( dx=x)

Можно также записать:

Теорема: Если фун-ия диф-ма в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Д-во:Если ф-ия диф-ма то у=А*x+α(x)*x .А это и означает непрер-ть ф-ии в т. х₀.

(Дополнительный вопрос: Обратное не всегда верно, т.е. сущ-ет ф-ия непрерывная в т., но не диф в ней. Например, функция , если x = 0 придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,

Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.)

Рассмотрим ф-ции нескольких переменных - U=f(x1,...,xm), М-внутр. точка обл-ти опред-я ф-ии U.

Определение. Если сущ-ет , то он наз-ся частной производной ф-ии U в т.М по переменной x_k и обозначается , т.е. = .

Частная производная ф-ии по переменной x_k яв-ся обыкновенной производной ф-ии при фиксированных значениях других переменных. Поэтому все правила вычисления производных сохран-ся и для частной производной ф-ии нескольких переменных. Для ограниченных т. области определения ф-ии данное определение частных производных яв-ся непригодным, т.к. в этих т. могут быть неопределенны приращения ф-ии. = (N), N-внутренние т. облости.

Ф-ия f дифер-а в т. M если ее приращение может быть представлено в виде: ∆U=A∆x₁+….+A_m∆x_m+α₁∆x₁+….+α_m∆x_m, где А₁…А_m не зависит от ∆x₁…∆x_m, α₁…α_m – б.м. ф-ии при ∆x₁ 0… ∆x_m 0.

Если хотя бы одно из чисел A_i отлично от 0, то сумма A∆x₁+….+A_m∆x_m и представляет собой главную линейную часть приращения ∆U относительно ∆x_i

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция U=f(x1,...,xm) дифференцируема в точке M(x₁…x_m), то в этой точке сущ-ют все частные производные по всем аргументам, причем =A_i. Существует и обратная теорема.

Определение: Дифференциалом dU, дифференцируемой в т.М(х₁…х_m) ф-ии U,называется главная линейная относительно приращения аргументов часть приращения этой ф-ии в т.М, если все коэф-ты A_i, в представлении приращения дифференцируемой ф-ии =0, то dU считается =0.

dU = A∆x₁+….+A_m∆x_m. A_i = - частные производные.