Метод Эйлера – простейший (метод ломанных Эйлера)

Угловой коэф касательной интегральной кривой в точке М_о(x_o,y_o) – y_o^/ = f(x_o,y_o). Найдем ординату у₁ соответствующую абсциссе х₁ = х_о + h. Уравнение касательной в точке М_о:

y – y_o = y^/ (x – x_o); y₁ = y_o + h f(x_o, y_o). Угловой коэффициент в точке М₁ находится из диф уравнения y₁^/ = f(x₁,y₁). На следующем шаге х₂ = х₁ + h;

y₂ = y₁ + h f(x₁,y₁) и т.д.

x_i = x_i-1 + h; y_i = y_i-1 + h f(x_i-1, y_i-1),

Правило Рунге.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом , в точке находят , где р – порядок точности метода.

(На всякий случай Пример:

Решить задачу Коши.

Найти решение на равномерной сетке с

непрерывна на решение задачи Коши существует и единственно

1	0,1	1,1	1,105	1,1103
2	0,2	1,22	1,231	1,2428
3	0,3	1,362	1,3803	1,3997
4	0,4	1,5282	1,555	1,5836

и т.д.

y = 2 )

Метод Рунге-Кутта

На [a,b] задана равномерная сетка

Вычисления производятся по рекуррентным формулам начиная с точки ( )

,

(*)

=

Метод называют методом Рунге-Кутта порядка р, если он имеет р-ый порядок точности по шагу h на сетке.

Порядок точности р достигается с помощью формулы (*) при определенных значениях коэффициентов ,

Эти коэффициенты вычисляются так:

1. точное решение и его приближения представляют в виде разложения по формуле Тейлора с центром в точке вплоть до слагаемого порядка .

2. из равенства подобных членов при одинаковых степенях в , решая которые находят .

Пусть р=1 метод Рунге-Кутта 1-ого порядка – метод Эйлера.

тогда (*) приводит к:

,

Пусть р=2 метод Рунге-Кутта 2-ого порядка – метод Эйлера-Коши.

тогда (*) принимает следующий вид:

Для практической оценки погрешности можно использовать правило Рунге с р=2

Пусть р=4 метод Рунге – Кутта 4-ого порядка – классический метод Рунге-Кутта.

, из (*) следует:

24. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.

Рассмотрим задачу о колебании струны. Будем рассматривать участок струны, удаленный от ее концов. Тогда влияние граничных условий на этот участок сказывается лишь через значительный промежуток времени. Если наблюдать явление в течение короткого промежутка, то влияние граничных условий незначительно, и ими можно пренебречь. В этом случае рассмотрим задачу с начальными условиями, т.е. задачу Коши.

Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик:

или

Сделаем замену:

Подставим найденные и в уравнение (1). Получим:

(*)

(3)

Если (*) имеет решение, то оно представимо в виде (3), где - некоторые дважды диференцированые функции.

Обратно – каковы бы ни были дважды дифференцированные функции , равенство (3) задает решение уравнения (*).

(4) -общее решение уравнения (1).

Предположим, что задача (1),(2) имеет решение. Определим функции и , так чтобы выполнялись начальные условия (2).

(5): – формула Даламбера.

Она доказывает единственность решения задачи (1), (2). С другой стороны, если считать, что функция дважды дифференцируема, то формула (5) удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2). Этот метод одновременно доказывает существование и единственность решения.

25. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи.

Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности (диффузии). Пусть функция u непрерывна и имеет непрерывные производные , . В одномерном по пространству случае однородное (без источников энергии) уравнение теплопроводности имеет вид:

В терминах теории теплообмена u(x,t) – распределение температуры в пространственно-временной области Ω×Т={0≤х≤l;0≤t≤T}, – коэффициент температуропроводности, где с - теплоемкость материала стержня, ρ – плотность, k − коэффициент теплопроводности.

Если на границах х=0 и х=l заданы значения искомой функции u(x,t) в виде:

т.е. граничные условия первого рода, и, кроме того, заданы начальные условия

u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0, то эту задачу называют первой начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности.

Если на границах х=0 и х=l заданы значения производных искомой функции по пространственной переменной

т.е. граничные условия второго рода, то эту задачу называют второй начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности.

Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее производной по пространственной переменной:

т.е. граничные условия третьего рода, то эту задачу называют третьей начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности.

Постановка задачи о распространении тепла на бесконечной прямой.

Рассмотрим на ∞ прямой задачу Коши: найти ограниченную ф-ю u(x,t) определенную в обл. -∞ < x < +∞, t>=0 и удовлетворяющую ур-ю теплопроводности:

Решение уравнения распространения тепла в ограниченном стержне методом Фу­рье.

Рассмотрим смешанную задачу:

Где f, непрерывные функции. Рассмотрим простейший случай, когда на концах стержня поддерживается постоянная температура:

(4) , .

Не ограничивая общности, можно считать, что и равны 0, т.к. в противном случае этого можно добиться заменой исходной функции U(x,t) по формуле (5)V(x,t)=U(x,t)- , где V – новая неизвестная функция. Т.к. , , то ф-ии U и V удовлетворяют одному и тому же уравнению (1). Из (5), в силу (4) следует:

V(0,t)=U(0,t)- -0= - -0=0;

V(L,t)= - -( - )=0, ;

V =V(x,0)=U(x,0)- =f(x)- = .

f(0)=U(0,0)= = ;

f(L)=U(L,0)= = ;

Т. о. достаточно найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2), где (0)=0, (L)=0.

(6)

Решение уравнения (1) будем искать в виде произведения двух функций: (7)U=X(x)T(t), X(x) 0, T(t) 0. В силу граничных условий (6) должны выполняться условия: X(0)=X(L)=0.

X = T.

Левая часть не зависит от X, а правая часть не зависит от t оба отношения являются константой. Обозначим эту константу .

= - , тогда (8) =0, (9) =0.

В процессе решения уравнения колебания струны было показано, что ненулевые решения уравнения (8) только при , , . Можно взять ф-ии , . В уравнении (9) заменим t на , :

(10) , .

Каждая из функций (10) удовлетворяет условию (6). Рассмотрим ряд

(11)U(x,t)= . Предположим что ряд (11) равномерно сходится, подчинив функцию u начальному условию (2), получим разложение (12)u(x,0)=f(x)= , который является разложением в ряд Фурье для функции f на [0,L] коэффициенты этого ряда определяются уравнениями (13) . Предположим, что функция f непрерывна и кусочно – дифференцируема.Это условие , а так же равенство f(0)=f(t)=0 обеспечивает равномерную и абсолютную сходимость (12)с коэффициентом определенными формулами (13) функции f(x).Кроме того отсюда следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (11) при 0 x L, t 0. сумма ряда (11) будет непрерывной функцией.

Ряды, получающиеся из ряда (11) почленным дифференцированием 1 раз по t и 2 раза по x также будут сходиться абсолютно и равномерно на множестве 0 x L, t >0.

Следовательно, ряд (11) можно почленно дифференцировать 1 раз по t и 2 раза по xпричем производные будут непрерывными функциями.

Можно доказать, что функция u имеет непрерывные производные любого конечного порядка, то функция u , задаваемая равенством (11) с коэффициентами, определенными равенством (13) , представляет собой решение уравнения (1),удовлетворяющее гармоничным условиям (6) и начальным условиям (2).Это решение будет единственным.

49