Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение:

f(x)=0

Найти корень на интервале [a,b] с точностью .

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции. Пересечение касательной с осью Х дает приближение корня

Выберем начальную точку x₀=b (конец интервала изоляции). Находим значение функции в этой точке и проводим к ней касательную, пересечение которой с осью Х дает нам первое приближение корня x₁.

x₁ = x₀ – h₀,

где

Поэтому

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой

Процесс поиска продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие:

Упростим условие исходя из рекуррентной формулы. Получим:

Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие:

т.е. первую касательную рекомендуется проводить в той точке интервала [a,b], где знаки функции f(x₀) и ее кривизны f"(x₀) совпадают.

Модифицированный метод Ньютона (метод секущих (метод хорд))

Геометрически метод хорд состоит в замене кривой y=f(x) хордой проходящей через точки (a,f(a)), (b,f(b)).

Пусть вторая производная сохраняет знак. Пусть , f(a)>0, т.е. конец а неподвижен.

Пусть , f(a)<0, т.е. конец b неподвижен.

.

Аналогично рассматривается случай . Его можно свести к рассмотренному если – f(x)=0.

Комбинированный метод.

Т. к. метод хорд и касательных дают приближение корня с разных сторон, то для повышения эффективности используются оба метода одновременно: один шаг делается методом хорд, а следующий шаг, с другой стороны, методом касательных, при этом интервал, содержащий корень, сокращается с обеих сторон. И это обусловливает другое условие окончания поиска: если разность между правым и левым концами интервала станет , то остановить

(Доп.вопрос: Для алгебраических уравнений пригодны одни и те же методы уточнения приближенных значений действительных корней:

1. метод половинного деления (метод дихотомии);

2. метод простых итераций;

3. метод Ньютона (метод касательных);

4. модифицированный метод Ньютона (метод секущих);)

23. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры методов Рунге-Кутта.

Прежде чем приступать к численному решению задачи Коши необходимо убедиться в том что решение существует и единственно.

Теорема:

=f(x,y);

y(x0)=y0.

Если f(x,y) непрерывные вместе со своей частной производной в области D, то при любых начальных данных задача имеет единственное решение.

Численное решение задачи Коши состоит в том что бы получить решение (x)=y в табличном виде на некотором [a,b] (a=x0… =b) эти точки узловые. Множество всех узловых точек на [a,b] – сетка. Сетки бывают равномерные и не равномерные.

Равномерная:

С шагом h=(b-a)/m;

=h;

+i*h; i=1,m.

Приближенное значение численного решения задачи Коши в узловых точках:

; i=1,m.

Величина погрешности: d= .

Численный метод имеет р-ый порядок точности, если d=c , р>0,c>0. c- зависит от f(x,y) и используемого метода.