Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Рассмотрим отрезки разбиения , где и ,

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями прямоугольников, основанием которых служит отрезок на оси , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке , либо в точке . Тогда в первом случае площадь равняется , а во втором .

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по от до , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

а во втором случае квадратурную формулу правых прямоугольников:

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Снова рассмотрим отрезки разбиения , где и , , и выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки

(Мы будем эти середины обозначать .) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное

выражает площадь прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.):

Получим тогда квадратурную формулу:

называемую формулой центральных прямоугольников.

Если взять все отрезки разбиения равной длины , то эта квадратурная формула принимает вид

Заметим, что в этом случае

Квадратурная формула трапеций

Пусть снова взято разбиение отрезка на части , . Приближённо заменим площадь под графиком , лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть и (см. рис.).

Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

Суммируя все площади , получаем квадратурную формулу трапеций:

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции на каждом из отрезков разбиения прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции в виде параболы -- графика некоторого квадратного трёхчлена . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка , на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен , чтобы его значения в точках и совпадали со значениями функции в этих же точках:

(*) Напомним, что через мы обозначали середину отрезка , то есть Функцию можно записать в виде

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа так, чтобы выполнялись равенства (*). Положим , тогда и . Подставим в выражение для и получим:

то есть

Подстановка даёт откуда

Наконец, подставим и получим

откуда

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции , для чего сделаем в нём замену :

Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона, или формулой парабол:

22. Методы Ньютона и секущих для решения нелинейных уравнений.