18. Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому приближению.

Рассмотрим нормальную си-му диф-ых ур : Предположим, что для системы (1) выполнены условия теоремы существования и единственности на мн-ве таких точек - открытое мн-во в пр-ве переменной . Пусть - решение системы (1), определённое при . Решение наз-ся устойчивым по Ляпунову, если выполняются: удовлетворяющее начальному условию при .

Если кроме того, выполняется равенство то - решение называется асимптотически устойчивым.

Устойчивость нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейную однородную систему:

Где А действительная постояная матрица. Пусть ,где - это собственные числа матрицы A.

Теорема: Для того что бы решение x=0 было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, что бы все собственные числа матрицы A имели отрицательные действительные части(М).

Замечание: Для устойчивости по Ляпунову – нулевого решения системы (1) необходимо, но не достаточно чтобы все собственные числа матрицы A имели неположительные действительные части.

Лемма Ляпунова: Будем считать что решение этой системы

Лемма: Пусть правая часть системы (1) определена на мн-ве C: . Предположим, что выполнены условия теоремы существования и единственности, и кроме того - при норме , определена такая неотрицательная ф-ия класса , непрерывно деференц-ых ф-ий (производная 1 порядка обращающиеся в 0 только при ), такая что: на мн-ве C , тогда нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову. Если кроме того на мн-ве C выполняется условие: , непрерывна, и обращается в 0, только при , то нулевое решение – асимптотически устойчиво.

Замечание: Для любого решения системы (1), имеет место тождество: .

Теорема Ляпунова: - нулевое решение системы (1). Пусть удовлетворяет условию теоремы существования и единственности, и имеет вид: -матрица

Си-ма - называется приближением (первый) или липериализации системы (1), из сделанных предположений вытекает . Рассмотрим случай когда матрица A(t) постоянна. Пусть задана норм. система А постоянная матрица все собственные значения, которой имеют отрицательные действительные части, при и при достаточно малой

- const полож-ые, тогда нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.

Теорема о неустойчивости: пусть задана норм. система (2), где A постоянная дейст-ая матрица имеющая хотя бы одно собственное значение с положительной действительной частью и при , и достаточно малой норме , тогда нулевое решение системы (2) неустойчиво. Справедлива следующая теорема Гурвица: многочлен , для того что бы этот многочлен с действительным коэффициентом имел все корни с отрицательными действительными частями необходимо и достаточно, что бы все главные миноры матрицы

были положительны. (a_к=0, k>n) т.е.

19. Функции алгебры логики. Реализация их формулами. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

В курсе математического анализа изучаются функции, определённые на числовой прямой или на отрезке числовой прямой или на (гипер-) плоскости и т.п. Так или иначе, область определения – непрерывное множество. В курсе дискретной математики изучаться должны функции, область определения которых – дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов. Так мы и приходим к понятию булевой функции.

Определение (Булева функция). Булевой функцией от n аргументов называется функция f из n-ой степени множества { 0, 1 } в множество { 0, 1 }.

Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежат множеству { 0, 1 }. Множество { 0, 1 } мы будем в дальнейшем обозначать через B.

Булеву функцию от n аргументов можно рассматривать как n-местную алгебраическую операцию на множестве B. При этом алгебра <B;W>, где W – множество всевозможных булевых функций, называется алгеброй логики.

Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того, чтобы задать значение функции от n переменных, надо определить значения для каждого из 2ⁿ наборов. Эти значения записывают в таблицу в порядке соответствующих двоичных чисел. В результате получается таблица следующего вида:

x1	x2	...	xn-1	xn	f
0	0	...	0	0	f(0,0,...,0,0)
0	0	...	0	1	f(0,0,...,0,1)
0	0	...	1	0	f(0,0,...,1,0)
0	0	...	1	1	f(0,0,...,1,1)
...	...	...	...	...	...
1	1	...	0	0	f(1,1,...,0,0)
1	1	...	0	1	f(1,1,...,0,1)
1	1	...	1	0	f(1,1,...,1,0)
1	1	...	1	1	f(1,1,...,1,1)

Раз у нас есть стандартный порядок записывания наборов, то для того, чтобы задать функцию, нам достаточно выписать значения f(0,0,...,0,0), f(0,0,...,0,1), f(0,0,...,1,0), f(0,0,...,1,1),..., f(1,1,...,0,0), f(1,1,...,0,1), f(1,1,...,1,0), f(1,1,...,1,1). Этот набор называют вектором значений функции.

Таким образом, различных функций n переменных столько, сколько различных двоичных наборов длины 2ⁿ. А их 2 в степени 2ⁿ.

Множество B содержит два элемента – их можно рассматривать как булевы функции от нуля (пустого множества) переменных – константу 0 и константу 1.

Функций от одной переменной четыре: это константа 0, константа 1, тождественная функция, т.е. функция, значение которой совпадает с аргументом и так называемая функция ``отрицание''. Отрицание будем обозначать символом ¬ как унарную операцию. Приведём таблицы этих четырёх функций:

x	0	x	¬ x	1
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Как видим, функции от некоторого числа переменных можно рассматривать как функции от большего числа переменных. При этом значения функции не меняется при изменении этих ``добавочных'' переменных. Такие переменные называются фиктивными, в отличие от остальных – существенных.

Определение (Фиктивные и существенные переменные). Переменная x_i называется фиктивной (несущественной) переменной функции f(x₁,···,x_n), если

f(x₁,···,x_i-1,0,x_i+1,···,x_n) = f(x₁,···,x_i-1,1,x_i+1,···,x_n)

для любых значений x₁,···,x_i-1,x_i+1,···,x_n. Иначе переменная x_i называется существенной.

Функций от двух аргументов шестнадцать. Наиболее употребляемые из этих функций (только те, которые существенно зависят от обеих переменных) мы приводим в следующей таблице:

x1	x2	x1 & x2	x1 x2	x1 x2	x1 x2	x1 x2	x1 | x2
0	0	0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	0	1	1

Эти функции записываются как бинарные операции в инфиксной нотации. x₁ & x₂ называется конъюнкцией, x₁ x₂ – дизъюнкцией, x₁ x₂ – импликацией, x₁ x₂ – эквивалентностью, x₁ x₂ – суммой по модулю 2, x₁ | x₂ – штрихом Шеффера.

Значения 0 и 1 часто интерпретируют как ``ложь'' и ``истину''. Тогда понятным становится название функции ``отрицание'' – она меняет ``ложь'' на ``истину'', а ``истину'' на ``ложь''. Отрицание читается как ``не''. Конъюнкция читается обычно как ``и'' – действительно, конъюнкция равна 1 тогда и только тогда, когда равны 1 и первая и вторая переменная. Кроме x<sub>1</sub>& x<sub>2</sub> часто используют обозначение x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> или x<sub>1</sub> · x<sub>2</sub> или x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> или min(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>). Дизъюнкция читается ``или'' – дизъюнкция равна 1 тогда и только тогда, когда равны 1 первая или вторая переменная. Импликация выражает факт, что из x₁ следует x₂. Импликацию часто также обозначают x₁ x₂. Эквивалентность обозначают x₁ x₂.

Формулы алгебры логики определим по индукции:

1. Любая логическая переменная – формула алгебры логики (атомарная формула).

2. Если , – формулы, то выражения , ( ),( ),( ),( ) – являются формулами.

3. Никаких других формул кроме построенных в пунктах 1,2 нет.

Следующие эквивалентности могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

(ассоциативность)

(коммутативность)

(свойство нуля)

(закон поглощения для 1)

(ассоциативность)

(коммутативность)

(свойство нуля по умножению)

(свойство нейтральности 1 по умножению)

(дистрибутивность)

(дистрибутивность 2)

(закон поглощения)

( Законы

де Моргана)

(закон снятия двойного отрицания)

(tertium non datur – третьего не дано)

(ассоциативность)

(Свойства

идемпотентности)

x y = (x & ¬y) (¬x & y)

x y = ¬x y

x y = (x & y) (¬x & ¬y)

Нормальные формы являются синтаксически однозначным способом записи формулы, реализующей заданную функцию.

Если х - логическая переменная, а σ∈{0,1} то выражение

Xσ = {	x если σ=1
	¬x если σ=0

или

Xσ = {	1 если x=σ
	0 если x≠σ

называется литерой. Литеры x и ¬x называются контрарными. Конъюнктом называется конъюнкция литер. Дизъюнктом называется дизъюнкция литер. Например, формулы XY¬Z и XYX¬X являются конъюнктами, формулы XvYv¬Z и XvYv¬X - дизъюнктами, а формула ¬Z является одновременно и конъюнктом и дизъюнктом. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция конечного числа конъюнктов. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция конечного числа дизъюнктов.

Более просто: ДНФ - это сумма произведений, а КНФ - это произведение логических сумм.

Теорема: любая формула эквивалентна некоторой ДНФ, любая формула эквивалентна некоторой КНФ.

Формула приводится к нормальной форме следующим путем:

1) преобразовать формулу к виду, в котором присутствуют только отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.      2) используем законы де Моргана, чтобы преобразовать формулу к виду, в котором знаки отрицания относятся только к отдельным переменным;      3) применяем правило снятия двойного отрицания: ¬(¬X)=X      4) далее использовать законы дистрибутивности, причем необходимо использовать первый закон дистрибутивности для приведения к ДНФ     H1&(H2vH3)=(H1&H2)v(H1&H3), и второй закон дистрибутивности для приведения к КНФ      H1v(H2&H3)=(H1vH2)&(H1vH3).      Любая булева функция может иметь бесконечно много представлений в виде ДНФ и КНФ. Например, используя дополнительно законы инверсий и правила операций с константами можно добиться, чтобы в каждом отдельном конъюнкте или дизъюнкте любая переменная входила бы не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).

Если в каждом члене нормальной формы представлены все переменные (либо сами, либо их отрицания), причем в каждом отдельном конъюнкте или дизъюнкте любая переменная входит ровно один раз (либо сама, либо ее отрицание), то эта форма называется совершенной нормальной формой (СДНФ или СКНФ).

Теорема      1. Любая булева функция, не являющаяся тождественным нулем, имеет только одну СДНФ, с точностью до расположения членов.      2. Любая булева функция, не являющаяся тождественной 1, имеет только одну СКНФ, с точностью до расположения членов.

Правило для построения СДНФ: следует выбрать строки, в которых функция равна 1, а затем взять дизъюнкцию соответствующих основных конъюнкций, получим искомую СДНФ.

Описанный способ нахождения СДНФ по таблице истинности бывает часто более трудоемким, чем следующий алгоритм.      1. Для нахождения СДНФ данную формулу приводим сначала к ДНФ.      2. Если в некоторый конъюнкт К (т.е. К это произведение некоторого числа переменных или их отрицаний) не входит скажем переменная Y, то этот конъюнкт заменяем на эквивалентную формулу K&(Yv¬Y) и, применяя закон дистрибутивности, приводим полученную формулу к ДНФ; если недостающих переменных несколько, то для каждой из них к конъюнкту добавляем соответствующую формулу вида (Yv¬Y).      3. Если в полученной ДНФ имеется несколько одинаковых конституент единицы, то оставляем только одну из них. В результате получается СДНФ.

Каждая формула имеет конечное число вхождений переменных. Под вхождением переменной понимается место, которое переменная занимает в формуле. Задача заключается в том, чтобы для данной булевой функции f найти ДНФ, представляющую эту функцию и имеющую наименьшее число вхождений переменных.

Формула f1 называется импликантой формулы f, если f1 — элементарное произведение и f1&f=f1, т. е. для соответствующих формулам функций справедливо неравенство f1≤f. Импликанта f1 формулы f называется простой, если после отбрасывания любой литеры из f1 не получается формула, являющаяся импликантой формулы f.

Теорема. Любая булева функция, не являющаяся константой 0, представима в виде сокращенной ДНФ.

 Сокращенная ДНФ может содержать лишние импликанты, удаление которых не меняет таблицы истинности. Если из сокращенной ДНФ удалить все лишние импликанты, то получается ДНФ, называемая тупиковой. Заметим, что представление функции в виде тупиковой ДНФ в общем случае неоднозначно. Выбор из всех тупиковых форм, формы с наименьшим числом вхождений переменных дает минимальную ДНФ (МДНФ).

20. Вероятностное пространство. Случайные величины. Закон больших чисел в форме Чебышева. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Их свойства.

Вероятностным пространством называется тройка (Ω,S,P), где Ω - произвольное множество возможных элементарных исходов эксперимента, S - совокупность подмножеств Ω, называемых событиями, P – вероятность (числовая функция заданная на S), удовлетворяющая свойствам:

1. P(A) ≥0, для любого А из S ,

2. P(Ω)=1.

Случайной величиной X называется произвольная функция, заданная на пространстве элементарных исходов Ω и принимающая значения R, т.е. каждому элементарному исходу ω ставится в соответствие число X(ω) принадл. R, X : Ω→R.

Математическое ожидание, задает центральное значение случайной величины.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х, имеющей абсолютно непрерывное распределение с плотностью p(x), называется , если

, в противном случае математическое ожидание не существует.

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3) Если X и Y независимы, то математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (если существуют MX и MY).

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых (если существуют MX и MY).

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

5) Если X ≥Y, то MX ≥ MY (св-во монотонности мат. ожидания)

6) Если MX=0, X ≥0, то P(X=0)=1

Дисперсия, характеризуется как разброс значений случайной величины около её математического ожидания

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Если X и Y независимы, то дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Если X и Y независимы, то дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

5) Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную : D(X+C)=D(X)

6) Дисперсия всегда неотрицательна: D(X) ≥0

Первое неравенство Чебышева.

Теорема(первое неравенство Чебышева):

Для каждой неотрицательной случайной величины, имеющей мат ожидание MX .

Доказательство:

, т.е.

, .

Второе неравенство Чебышева.

Теорема(второе неравенство Чебышева):

Для каждой случайной величины X, имеющей дисперсию

Доказательство:

Применим к случайной величине X первое неравенство Чебышева

.

Определение: Последовательность случайных величин, имеющих мат ожидание , удовлетворяет закону больших чисел (ЗБЧ) (слабому), если

Замечание: ЗБЧ выражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин.

При большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями.

Теорема(ЗБЧ в форме Чебышева):

Если последовательность независимых случайных величин такова, что , , причем дисперсии ограничены в совокупности (т.е. ), то для последовательности выполнен ЗБЧ.

Доказательство:

Применим 2е неравенство Чебышева к случайным величинам

Получим: , т.е. для последовательности выполняется ЗБЧ.

Следствие:

Если случайные величины независимы и одинаково распределены, т.е. , , то имеет место ЗБЧ в форме:

21. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол.

Пусть функция f(x) определена и кусочно-непрерывна на промежутке [a,b], требуется вычислить интеграл .

Если подынтегральная функция задана в аналитическом виде, то как известно, эта задача в простейших случаях, например, в случае непрерывной функции f(x), может быть решена с помощью формулы Ньютона-Лейбница (где F(x) – первообразная), сводящей вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда является элементарной, или аналитическое выражение F(x) является сложным для вычислений.

Если подынтегральная функция задана таблично, то это исключает применение формулы Ньютона-Лейбница.

Численные методы интегрирования позволяют найти числовые значения интеграла, используя значения подынтегральной функции в заданных точках (узлах).

Основные идеи, лежащие в основе этих методов: использование определения определенного интеграла как предела интегральных сумм S_n

,

с целью замены интеграла какой-либо частичной суммой.

Вычислять значение интеграла мы будем по значениям функции в некоторых точках отрезка . Эти значения мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям приближённо определить значение , называются квадратурными формулами.

Вычислить интеграл значит найти площадь под графиком , расположенную над отрезком .