14. Ортогональные преобразования евклидова пространства. Ортогональные матрицы и их свойства.

Ортогональное преобразование — линейное преобразование A евклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов.

(Доп.вопрос Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если ставится  в соответствие число, называемое скалярным произведением: . При этом, для  выполняются аксиомы:

 

Имеет место Неравенство Коши – Буняковского – Шварца:

По определению, длиной элемента называется: , а косинусом угла между двумя элементами: )

В ортогональном и нормированном базисе им(и только им) соответствует ортогональная матрица. Ортогональная матрица порядка n матрица

, 

произведение которой на транспонированную матрицу Q^Т даёт единичную матрицу, то есть QQ^Т = Е (а следовательно, и Q^ТQ = Е). Её элементы удовлетворяют соотношениям:

 

или эквивалентным соотношениям:

 

Определитель |Q| равен +1 или —1.

Ортогональные преобразования образуют группу — т.н. группу вращений данного евклидова пространства вокруг начала координат. В трёхмерном пространстве ортогональное преобразование сводится к повороту на некоторый угол вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О, если определитель соответствующей ортогональной матрицы равен +1. Если же этот определитель равен —1, то поворот дополняется зеркальным отражением относительно плоскости, проходящей через О и перпендикулярной оси поворота. В двумерном пространстве, т. е. в плоскости, определяет поворот на некоторый угол вокруг начала координат О или зеркальное отражение относительно некоторой прямой, проходящей через О. Используется при приведении квадратичной формы к главным осям.

Ортогональные преобразования и только они переводят один ортонормированный базис в другой.

Необходимым и достаточным условием ортогональности A является также равенство , где — сопряжённое, а — обратное линейные преобразования.

Обратный оператор: (тождественный оператор: , его матрица, очевидно, равна единичной). Он обладает следующим свойством: если у = А(х),то   Ясно, что его матрица равна обратной матрице исходного  ( ) и он существует только у невырожденных операторов.

Оператор называется сопряженным линейному оператору , если

Оператор также является линейным оператором. Если f в некотором ортогональном базисе имеет матрицу A, то в этом базисе оператор имеет матрицу A^T.

     Свойства сопряженных операторов:

(f – невырожденный, т.е. матрица оператора не нулевая).

Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные, то есть принадлежащие комплексному расширению вещественного евклидова пространства), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

15. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы.

Одной из важнейших задач линейной алгебры является поиск оптимального базиса для конкретного линейного оператора в данном пространстве. Эта задача сводится к поиску собственных векторов и собственных значений данного оператора. Следует отметить, что в общем случае она решения не имеет.

Постановка задачи: Требуется найти такие векторы  , называемые собственными векторами линейного оператора  А  и числа , называемые собственными значениями оператора, которые удовлетворяют условию:  

Пусть {e} – произвольный базис пространства. Указанное уравнение перепишется в виде:  где Е − единичная матрица. Отсюда получаем: однородная СЛАУ с квадратной матрицей, зависящей от параметра. Так как мы ищем нетривиальные решения системы, ее ранг должен быть меньше числа неизвестных, т.е. ее определитель должен быть равен нулю. Следовательно, для определения величин λ  получаем  характеристическое уравнение:

                                 

В результате  мы имеем алгебраическое уравнение n-ной степени относительно  λ. Оно имеет ровно  n  корней с учетом комплексных и кратных. Решив это уравнение, следует подставить действительные корни в СЛАУ   для определения соответствующих собственных векторов. Так как собственные значения были найдены из условия равенства нулю определителя матрицы, то для каждого значения  λ однородная система будет иметь, по крайней мере, одно нетривиальное решение.

      Рассмотрим сначала общие свойства собственных значений и векторов линейного оператора.

Теорема 1. Собственные значения линейного оператора не зависят от базиса.

{  A_f −λE = P⁻¹A_eP −λE = P⁻¹A_eP −λP⁻¹EP = P⁻¹(A_e −λE)P

  det(A_f −λE) = det(P⁻¹(A_e −λE)P) = det(A_e−λE), т.е. характеристические многочлены совпадают}

Из доказательства следует еще одно свойство подобных матриц: подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения.

Пусть существует линейно независимая система собственных векторов  ( ), отвечающих собственным значениям   (среди которых могут быть и одинаковые). Эта система, очевидно, является базисом данного пространства и называется  собственным базисом линейного оператора.

Теорема 2. Матрица линейного оператора в собственном базисе имеет диагональный вид, причем на диагонали стоят собственные значения:

                                                 

{Для доказательства этого утверждения достаточно построить матрицу оператора, пользуясь определением и условием задачи на собственные значения}

    В этом случае матрица линейного оператора называется диагонализируемой.

Теорема 3. Собственные векторы  , соответствующие попарно различным собственным значениям  , линейно независимы.

{Пусть  линейно независимы, а зависимы

причем  т.к. Применим оператор  А  к обеим частям равенства (*) и вычтем из получившегося результата равенство (*), умноженное на

 что противоречит условию} 

Теорема 4. Собственные векторы, соответствующие одному собственному значению, образуют линейное подпространство. (Формально, к нему следует добавить нулевой вектор)

{Пусть . Это утверждение следует также из того, что они все являются решениями одной однородной СЛАУ}

Теорема 5. Пусть λ₀ − действительное собственное значение кратности  k . Тогда размерность  r  подпространства собственных векторов, отвечающих  λ₀ , удовлетворяет условию: r ≤ k.

{Выберем базис пространства  L  следующим образом: первые  r   базисных векторов – базис подпространства, остальные – любые. Левый верхний угол матрицы оператора будет диагональным с величиной  λ₀  на диагонали. Характеристический многочлен будет содержать множитель . Следовательно, кратность корня λ₀  ≥ r , или  r ≤ k }

Следствие. Простому (кратности 1) действительному корню характеристического уравнения соответствует ровно один линейно независимый собственный вектор.

Теперь перейдем к рассмотрению различных случаев, возникающих при решении характеристического уравнения.

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.

 Существует система   n  линейно независимых собственных векторов – собственный базис данного оператора в пространстве  L. Матрица оператора в этом базисе диагональная с собственными значениями на диагонали. В любом другом базисе матрица – диагонализируема.

2. Все корни характеристического уравнения действительные, причем есть корни, кратность которых больше единицы.              

 Если каждому корню кратности  r > 1 соответствует ровно  r  линейно независимых собственных векторов, то существует собственный базис. В противном случае – собственного базиса не существует и матрица не диагонализируема.

3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные.

 Собственного базиса не существует, матрица не диагонализируема.

16. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений.      Линейное однородное уравнение первого порядка

     Общее решение: .

     Решение задачи Коши, y(x₀) = y₀:

     Линейное неоднородное уравнение первого порядка

     Общее решение:

     Решение задачи Коши, y(x₀) = y₀:

     Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

     Характеристическое уравнение

 Характеристические числа

     Общее решение

     1. В случае

     Если то общее решение можно записать и в форме

     2. В случае

     Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

     Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного.

     Вид частного решения неоднородного уравнения в некоторых конкретных случаях

     1. - многочлен степени m:

     а) число 0 не является корнем характеристического уравнения , т. е. , тогда

где - многочлен порядка m;

     б) число 0 - корень характеристического уравнения, т. е. b = 0, тогда

если 0 - простой корень, т. е. ;

если 0 - кратный корень, т. е. a = 0.

 2. :

     а) число не является корнем характеристического уравнения, тогда

     б) - корень характеристического уравнения:

если - простой корень;

если - кратный корень.

     3. :

     а) число не является корнем характеристического уравнения, тогда

+ k=max{m,l}

     б) корень характеристического уравнения:

+ k=max{m,l}

     4. :

     а) число не является корнем характеристического уравнения, тогда

+ k=max{m,l}

     б) - корень характеристического уравнения:

+ k=max{m,l}

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

     Характеристическое уравнение

- корни характеристического уравнения.

     Общее решение

1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда

     Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например

решение можно записать в виде

2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например, имеет кратность k (остальные - простые), тогда

     Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней кратности k, например , решение можно записать в виде

…+

     Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

     Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.

Вид частного решения y* неоднородного уравнения в некоторых конкретных случаях

( )- заданные многочлены степени m, l; - искомые многочлены степени не выше m, k)

     1. :

     a) число 0 не является корнем характеристического уравнения, тогда

     б) число 0 - корень кратности s характеристического уравнения:

     2. :

     a) число a не является корнем характеристического уравнения, тогда

     б) число a - корень кратности s характеристического уравнения:

     3. :

     a) числа не являются корнями характеристического уравнения, тогда

+ k=max{m,l}

     б) числа - корни кратности s:

+ k=max{m,l}

     4. :

     a) числа не являются корнями характеристического уравнения, тогда

+ k=max{m,l}

     б) числа - корни кратности s:

+ k=max{m,l}

Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

     В векторной форме:

dY/dx = AY,

где

     Характеристическое уравнение

или .

     Нахождение общего решения системы по методу Эйлера

     1. Если - простой корень характеристического уравнения, то ему соответствует решение

, ,…,

числа , ,…, находятся из системы

 2. Если - корень кратности m характеристического уравнения, то ему соответствует решение вида

, ,…,

где P₁(x), P₂(x), ..., P_n(x) - многочлены степени не выше m-1, имеющие в совокупности m произвольных постоянных.

     Коэффициенты многочленов можно определить, подставив выражения для y₁, y₂, ..., y_n в исходную систему.

     Найдя решения, соответствующие каждому корню характеристического уравнения, общее решение системы получим как линейную комбинацию этих решений.

     Например, если все корни характеристического уравнения простые, а решениями, соответствующими этим корням , будут:

, ,…, ,k=1,2,…,n

то общее решение этой системы имеет вид:

 Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

 Здесь

Определение. Любые   линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема: Пусть Y₀(x) – частн реш неоднородной сист, Y₁(x), Y₂(x), ... , Y_n(x) – фундоментальная сист реш однор сист тогда формула Y(x) = Y₀(x) + c₁* Y₁(x)+...+c_n* Y_n(x) где c₁, ... , c_n – const, задает общее решение не однородной сист.

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) неперерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y , то общее решение неоднородной системы Y' = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x₀ — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀ является вектор-функция

Определитель W(x)= называется определителем Вронского.

Ly =y⁽ⁿ⁾ + P₁(x)y^{(n − 1)} + P₂(x)y^{(n − 2)} + ... + P_n(x)y = f(x) – линейное уравнение n порядка

Y1,Y2,…,Yn реш-е однородного лин-го ур-я Ly=0

Теорема: Для того чтобы эти решения образовывали фунд сис-му реш ур-ия Ly=0 необходимо и достаточно, чтобы определитель W(x) не обращался в ноль хотя бы в одной точке.

17. Определитель Вронского.

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций , дифференцируемых на промежутке I (n-1)-раз — функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:

.

Определитель Вронского используется для док-ва линейной зависимости диф-мых функций. В частности это необходимо для нахождения фундаментальных систем решений.

Справедлива след-я формула Остроградского-Лиувилля W(x)=W(x0)

Где P1(x) непрерывная ф-ия из линейного уравнения n-го порядка Ly =y⁽ⁿ⁾ + P₁(x)y^{(n − 1)} + P₂(x)y^{(n − 2)} + ... + P_n(x)y = f(x).

Из этой формулы =>что 1)если W(x) =0 в одной т (a,b) то он =0 на всем (a,b), 2)если W(x) не =0 в одной т (a,b) то он не=0 на всем (a,b).

Таким образом для того чтобы решения образовывали фундаментальную систему решений ур-я L(y)=0 достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от 0 хотя бы в одной т. интервала (a,b).