13. Линейный оператор в конечномерном пространстве, его матрица. Норма линейного оператора.
(Доп.вопросы.Определение.
Линейным
пространством L
= {a,b,c,…}называется
множество, относительно элементов
которого определены операции сложения
и умножения на число, причем результаты
этих операций принадлежат этому же
множеству
(говорят, что L
замкнуто относительно операций сложения
и умножения на число):
.
(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)
Определение.
Сумма
называется
линейной
комбинацией
элементов а1,
а2,…,аn
с коэффициентами λk
.
Определение. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.
Определение.
Система
элементов линейного пространства
{a1,…,an}
называется линейно-независимой,
если ее
линейная комбинация равна нулю только
с нулевыми коэффициентами:
Теорема. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.
{
}
Определение. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:
1) система {e1, …, en} – линейно независима.
2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов e1, …, en):
Определение. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.
Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.
Определение. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество элементов L, которое само является линейным пространством.
Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число. (все аксиомы выполняются автоматически).
Определение.
Линейной
оболочкой системы
элементов
,
принадлежащих L
, называется совокупность всех
линейных комбинаций этих элементов:
Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой своего базиса.)
Определение. Функция (отображение)
А, определенная на линейном пространстве
Ln
, область значений которой принадлежит
линейному пространству Lm
(здесь n и m
– размерности соответствующих
пространств) называется оператором
:
Если
Все прообразы нулевого элемента Lm
называют ядром оператора А:
Определение. Оператор А называется
линейным, если для
выполняется
равенство:
Пусть А – линейный оператор:
базисы
в соответствующих пространствах
Ln
и Lm
.
Определение 3. Матрицей линейного оператора А называется матрица (будем обозначать ее через Аmn ), столбцами которой являются координаты образов базисных элементов {e} в базисе {f }, т.е. , если
, то
или
в матричной форме:
Замечание. Оператор, в частности линейный, определяет некоторое действие на элементы линейного пространства и не зависит от базиса. В свою очередь, матрица линейного оператора зависит как от базиса пространства прообразов, так и от базиса пространства образов.
Теорема 1. Образ вектора х
равен произведению матрицы линейного
оператора на столбец его
координат: если у = А(х),
то
Таким образом, каждому линейному оператору ставится в соответствие матрица. Верно и обратное: каждой матрице можно поставить в соответствие линейный оператор.
Теорема. При переходе к новому
базису матрица линейного оператора
меняется по следующему
закону:
{Пусть {f} – новый
базис, {e} – старый.
1)
- матрица линейного оператора в новом базисе;
- матрица перехода от{e}к {f};
- матрица в базисе {e}}
Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.
{
}
Рассмотрим множество линейных операторов
Определим
на этом множестве операции сложения,
умножения на число и произведение
операторов: А + В, λА и
А·В.
1.
2.
3.
Легко проверить, что все указанные операторы – линейные.
{проверим для А·В : (АВ)(αх +βу) = А(αВ(х) + βВ(у)) = α(АВ)(х) +β(АВ)(у) }
Этим операторам соответствуют матрицы:
{для двух первых действий – очевидно;
(3):
}
Свойства линейных операций:
1. А + В = В +А ; 5. λ( μА ) = (λμ)А ;
2. ( А + В ) + С = А + ( В + С ) ; 6. 1·А = А ;
3. А + Ø = А ; 7. (λ + μ)А = λА + μА ;
4. А + (−А ) = Ø ; 8. λ( А + В ) = λА + λВ ;
Из этих соотношений следует, что множество линейных операторов образует линейное пространство (размерности n2 ).
Свойства произведения операторов:
1. (λА)·В = λ ( А·В) ; 3.( А + В )·С = А·С + В·С;
2. А·( В·С ) = ( А·В )·С ; 4. А·( В + С ) = А·В + А·С ;
Произведение операторов позволяет ввести понятие степени оператора:
А1 = А, А2 = А·А и т.д.
(тождественному
оператору:
,
его матрица, очевидно, равна единичной).
Так же, по определению, вводится понятие
обратного оператора:
Он
обладает следующим свойством: если у
= А(х),
то
Ясно,
что его матрица равна обратной матрице
исходного (
)
и он существует только у невырожденных
операторов.
(Доп.вопр.Норма-ф-ия, заданная на вект-ом простр-е и обобщающая понятие длины вект-а или абсолютного знач-я числа.
Норма
— функция
,
удовлетворяющим следующим условиям:
(неравенство
треугольника);
Эти условия являются аксиомами нормы.
Чаще
всего норму обозначают в виде:
.
Вектор
с единичной нормой (
)
называется нормальным
или нормированным.
Любой
ненулевой вектор x
можно нормировать,
то есть разделить его на свою норму:
вектор
имеет
единичную норму.)
Для линейных операторов
наименьшее из чисел С, удовлетворяющих
неравенству
L
:
,
называется нормой оператора А и
обозначается
.
Теорема. Для любого ограниченного
оператора А , действующего из нормированного
пространства в нормированное
