12. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
Система m линейных уравнений с n неизвестными - это система уравнений вида
Здесь 
—
неизвестные, которые надо определить.
—
коэффициенты системы — и 
—
свободные члены — предполагаются
известными. Индексы коэффициентов
(
)
системы обозначают номера уравнения
(i) и неизвестного (j), при котором стоит
этот коэффициент соответственно.
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю ( = 0), иначе — неоднородной.
Нулевое решение 
однородной системы называется тривиальным
решением. Однородные системы всегда
совместны, т.к. всегда существует
тривиальное решение. Если существует
любое ненулевое решение системы, то
оно называется нетривиальным.
Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы — совокупность n
чисел
,
таких что подстановка каждого 
вместо
в систему обращает все её уравнения в
тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида может иметь одно или более решений.
Решения 
совместной системы вида называются
различными, если нарушается хотя бы
одно из равенств:
Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Матричная форма
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как
.
Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицей.
Расширенная матрица
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
(ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВОПРОС Минором i порядка матрицы А(n x n) называется определитель i порядка, с элементами лежащими на пересечении любых i строк и i столбцов матрицы A. Пусть хотя бы один из элементов матрицы А не равен 0, тогда найдется такое r,что:
у А имеется минор порядка r отличный от 0;
любой минор порядка r + 1 и выше равен 0.
Число r удовлетворяющее этим 2 условиям называется рангом матрицы А и обозначается r=rang(A), а минор порядка r отличный от 0 называется базисным минором, т.е. ранг матрицы – максимальный порядок минора отличный от 0)
Док-во:
Необходимость
Пусть система совместна. Тогда существуют
числа 
такие, что 
.
Следовательно, столбец b
является линейной комбинацией столбцов
матрицы A с коэффициентами
.
Из того, что ранг матрицы не изменится,
если из системы его строк (столбцов)
вычеркнуть или приписать строку
(соответственно столбец), которая
является линейной комбинацией других
строк (соответственно столбцов) следует,
что 
.
Достаточность
Пусть 
.
Возьмем в матрице A
какой-нибудь базисный минор. Так как
,
то он же и будет базисным минором и
матрицы B. Тогда согласно
теореме о базисном миноре последний
столбец матрицы B будет
линейной комбинацией базисных столбцов,
то есть столбцов матрицы A.
Следовательно, столбец свободных членов
сист является линейной комбинацией
столбцов матрицы A.
Общее решение системы линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.
Исходная система:
Будем поэтапно приводить систему к треугольному виду, исключая последовательно сначала x1 из второго, третьего, …, n-го уравнений, затем х2 из третьего, четвертого, …, n-го уравнений преобразованной системы, и т.д.
На первом этапе заменим второе, третье,
…, n-е уравнения на
уравнения, получающиеся сложением этих
уравнений с первым, умноженным на
,
,
…,
.
Результатом этого этапа преобразований будет следующая система:
,
коэффициент которой (с верхним индексом 1) подсчитываются по формулам:
,
,
где i,j=2,3,…,n.
При этом можно считать, что
,
так как по предположению сист. однозначно
разрешима, значит, все коэф. при х1
не могут одновременно равняться нулю,
и на первое место всегда можно поставить
ур-е с отличным от нуля первым коэф.
На втором шаге проделываем такие же операции, как и на первом, с подсист. второй сист., получающейся исключением первого ур. Эквивалентный исходной системе результат второго этапа будет иметь вид:
,
,
где i,j=3,…,n.
Продолжая этот процесс, на (n-1)-м шаге прямого хода метода Гаусса исходную сист приведем к виду:
На основе предыдущих рассуждений и формул легко убедиться, что коэф-ы этой сист. могут быть получены из коэф-ов данной сист-мы последовательным пересчетом по формулам:
,
,
где верхний индекс k
(номер этапа) должен изменятся от 1
до n-1, нижние
индыксы i и j
– от k+1 до n;
по определению предполагаем
,
.
Получившаяся структура сист. позволяет последовательно одно за другим вычислять значения неизвестных, начиная с последнего:
….
.