Тема 1.1. Текстовые задачи

План.

1. Моделирование реальных процессов. Типология текстовых задач.

2. Текстовые задачи на движение и на работу.

3. Текстовые задачи на проценты.

4. Текстовые задачи на смеси, растворы, сплавы.

5. Нестандартные текстовые задчи.

1.1.1 Моделирование реальных процессов. Типология текстовых задач.

Модель (от лат. modus – образ) объекта (процесса) – это его отображение в каком-либо объекте. Математическая модель – отображение в математическом объекте. К математическим объектам можно отнести выражения, уравнения, неравенства и их системы, функции и их графики, геометрические фигуры и их модели. Для отображения формы объектов и их взаимного расположения подходят геометрические фигуры и их моделей, для отображения величины объектов – выражения, для отображения соотношений между величинами – уравнения и неравенства, для отображения процессов – функции и их графики. Поэтому для решения задач, связанных с рассмотрением различных процессов с точки зрения математики часто используются графики функций.

Что же такое задача? Общепринятого определения понятия задачи нет. Мы будем понимать под задачей указание с учётом данных условий преобразовать объект из исходного состояния в требуемое. Тогда познавательная задача – указание с учётом данных условий преобразовать неизвестное в известное.

В задаче выделяют основные компоненты:

1. Условие — начальное состояние;

2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;

3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;

4. Заключение — конечное состояние.

Математическими считаются все задачи, в которых переход от на­чального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математиче­скими средствами, т.е. отличающиеся математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, за­ключение) — математические объекты, то задача называется чисто ма­тематической, если математическими являются только решение и базис решения, то задача называется прикладной математи­ческой задачей.

Прикладные математические задачи являются следствием практических потребностей. Задача появляется всякий раз, когда требуются какие-либо свойства, которыми не обладают имеющиеся объекты и есть тот, кто готов действовать, чтобы получить объект, обладающий требуемыми свойствами, назовём его решателем.

В целях обучения используются учебные задачи. Основное их отличие от других задач в том, что они направлены на преобразование решателя. С целью обучения математике используют учебный аналог прикладных задач – текстовые задачи, в них условие содержит наряду с математическими данными некоторый сюжет (фабулу задачи).

Этапы решения задачи:

1. Анализ условия задачи

   1. ознакомление с условием задачи

   2. осмысление условия:

– какие даны объекты, величины, отношения, процессы;

– что требуется найти;

– какие связи между известным и неизвестным можно установить;

3. моделирование условия задачи в виде краткой записи, схемы, рисунка.

1. Поиск решения

   1. актуализация знаний (какие теоретические сведения и опорные задачи могут быть полезны)

   2. синтетический метод поиска (что можно найти по известным данным?);

   3. дополнительное графическое моделирование («Возможно для решения задачи требуется дополнительное построение? Какое?», «Возможно, искомую величину можно найти из другого треугольника? Какого?»);

   4. повторная актуализация знаний («Все ли условия использованы?» «Какие понятия используются в задаче?», «Как они определяются?», «Какие связанные с ними теоремы известны?»);

   5. аналитический метод поиска:

анализ Евклида: «А если обозначить искомую величину через x ?», «Выразите через x другие величины», «Нельзя ли составить уравнение?»;

анализ Паппа: «Чтобы найти неизвестное, что достаточно знать?», «Допустим, что достаточно знать a и b. Чтобы найти a и b что достаточно знать?» и т.д.).

6. другие методы: метод доказательства от противного, метод индукции и т.д.

7. Составление плана решения

1. Реализация плана решения, фиксация решения

– обдумывание краткой записи решения;

– разбавка решения на шаги,

– запись каждого шага с соблюдением нумерации.

4. Проверка решения («Правдоподобен ли результат?»)

5. Изучение найденного решения («Нет ли другого, более рационального решения?», «Что полезно запомнить после решения этой задачи?», «Нельзя ли обобщить задачу, её результат?»).

Моделирование при решении задач осуществляется на всех этапах решения для:

– анализа условия задачи и фиксации его результатов;

– взгляда на задачу с разных точек зрения;

– переформулирования задачи;

– построения решающей математической модели задачи;

– исследования результата решения.

Методы решения текстовых задач:

Арифметический – решение задач путём выполнения арифметических действий, алгебраический – решение задач путём составления уравнения или системы уравнений, графический – путём построения графиков зависимостей.

Классификация задач.

Учесть все виды задач и разбить их на непересекающиеся классы невозможно, поэтому принято говорить не о классификации задач, а об объединении задач в группы, то есть о типологии. Типологии проводят по различным основаниям: по методам решения, по уровню сложности решения (сложенности из подзадач), по количеству соотношений межу величинами.

В зависимости от вида соотношения выделяют следующие типы текстовых задач:

– традиционные (часто встречающиеся): «на движение», «на работу», «на проценты», «на смеси», «на сплавы».

- дополнительные: на числовые зависимости, на прогрессии, на процентный прирост и вычисление сложных процентов, с использованием неравенств, с целочисленными неизвестными и другие.

Все эти задачи по отношению к теории можно разделить на стандартные и нестандартные.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, т. е. существуют установленные правила, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи данного вида.

Тогда понятно, что нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющий точный алгоритм их решения.