6

Понятие о дисперсионном анализе

При необходимости совершенствования какой-либо системы, будь то изделие машиностроения, процесс производства или процесс управления объектом, надо иметь набор её параметров, с помощью изменения которых можно добиться желаемого результата. Поэтому вначале надо выяснить, какие из доступных для внешнего изменения параметры системы, дают наибольшую изменяемость её параметров, определяющих её свойства и являющихся критериями совершенствования.

Для этого может применяться математический аппарат, называемый дисперсионным анализом. В нём доступные для изменения параметры называются факторами, которые могут иметь уровни, описывающие эти изменения. Например, фактор «пол работника» имеет всего два уровня: мужской и женский, фактор «образование работника» имеет уже 5 уровней: неполное среднее, среднее, среднее специальное, неполное высшее и высшее, а фактор «скорость резания» для некоторых типов станков имеет более трёх десятков уровней. Для каждого параметра системы, определяющего её совершенствуемые свойства, формируется блок статистической информации, описывающий его изменяемость в зависимости от уровней рассматриваемых факторов. Эта изменяемость описывается дисперсией или средним квадратическим отклонением рассматриваемого параметра от своего среднего статистического значения, которые вычисляются на основе имеющейся статистической информации. Чем больше его изменяемость, тем больше его дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Поэтому вопрос о выборе параметров системы – её факторов, изменение которых может дать её необходимое совершенствование, сводится к выяснению значимости дисперсии рассматриваемого параметра системы, описывающего это совершенствование.

Различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ позволяет оценить существенность или несущественность влияния одного фактора на какой-либо параметр системы, а многофакторный дисперсионный анализ даёт возможность оценить влияние каждого из нескольких факторов на исследуемый параметр системы, а также их взаимное влияние на него.

Однофакторный дисперсионный анализ. Предварительные расчеты

Пусть для параметра x системы выполнено N опытов для каждого из K уровней проверяемого фактора A. Эти данные, представляющие собой случайную выборку, приведены в таблице ниже

№ опыта	Уровни фактора A
	A1	A2	A3	…	AK
1	x11	x21	x31	…	xK1
2	x12	x22	x32	…	xK2
3	x13	x23	x33	…	xK3
…	…	…	…	…	…
N	x1N	x2N	x3N	…	xKN

Для этих данных, которые считаются распределёнными по нормальному закону, можно вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Известно, что выборочная дисперсия d_в показывает степень разброса значений x_ki измеряемого параметра x около его среднего значения, определяемого величиной выборочной средней . Этот разброс рассматриваемого параметра x определяется случайными влияниями на него всех факторов рассматриваемой системы, в том числе и проверяемого фактора A. Поэтому процесс формирования случайных значений параметра x можно представить в следующем виде

,

где α_k – случайное влияние уровня A_k фактора A, а ε_ki – неконтролируемые в данных опытах случайные независимые воздействия остальных факторов. Тогда выборочная дисперсия рассматриваемой выборки может быть представлена так, как это показано ниже

.

Было замечено, что она может быть разделена на факторную дисперсию d_факт, которая определяется случайными отклонениями α_k фактора A, и остаточную дисперсию d_ост, которая определяется неконтролируемыми случайными воздействиями ε_ki остальных факторов

.

Их следует вводить следующим образом

,

где обозначают выборочные средние для каждого уровня рассматриваемого фактора

.

Покажем это. Для этого сначала следует записать выборочные средние для каждого уровня рассматриваемого фактора через α_i и ε_ik

.

Далее это же надо сделать для факторной и остаточной дисперсий

,

.

Из полученных соотношений видно, что факторная дисперсия в основном определяется случайными воздействиями α_k фактора A, а остаточная дисперсия определяется только неконтролируемыми случайными воздействиями ε_ki остальных факторов. При этом сумма факторной и остаточной дисперсий равна выборочной дисперсии всей выборки

.

Замечание. Обычно остаточную дисперсию рассчитывают не непосредственно, а через общую дисперсию и факторную дисперсию

.

Факторная и остаточная дисперсии используются для решения вопроса о существенности или несущественности влияния изучаемого фактора на рассматриваемый параметр системы. Если выясняется, что факторная дисперсия невелика по отношению к остаточной дисперсии, то считается, что фактор A не оказывает существенного влияния на параметр x, в противном случае он значим и его можно использовать для совершенствования системы. Остаётся найти меру, грань, которая делит интервал значений факторной дисперсии на интервалы, в одном из которых фактор A следует признать значимым, а в другом – несущественным.