14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.

Пусть К – коммут. кольцо с 1ей.

О1:Мног-ом от 1ой неизв. х над кол. К наз. формальная сумма вида а_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ , где а_i  К , i = 0…n, наз. коэфф-ми мног., а а_ix – чл-ми мног., а₀ – свободным чл. мног. О2: Число n  N U {0} наз. степенью мног, если коэффициент а_n≠0, а все коэфф-ты при более высоких степенях х мног. =0, при эт. а_n – старш. коэфф., а а_nxⁿ – старш. чл. мног.

О3: Суммой мног. f(x) и g(x) наз.мног., обозн-й f(x) + g(x), коэфф. кот. = сумме соотв-х коэф-в мног-ов f(x) и g(x). О4:Произвед-м f(x) и g(x) наз.многочлен f(x)·g(x) = a₀b₀ + (a₁b₀ + a₀b₁)x + (a₂b₀ + a₁b₁ + a₀b₂)x² + … + a_nb_mx^n+m .

Т(о коммут. кольце К[x]): Мн. мног-в от х над коммутативным кольцом с 1цей К явл. коммутативным кольцом с единицей.

Отношение делимости.

Пусть P[x] – кольцо мног., f(x),g(x)P[x] О5:Б. гов., что эл. f(x) делится на g(x), если h(x)P[x] такой, что f(x) = g(x)h(x).

Основные свойства отношения делимости:

1. (f(x)P[x]) f(x):f(x) 2. (f(x),g(x),j(x) P[x])(f(x):g(x)Ùg(x):j(x)f(x):j(x)

3. (f(x),g(x),j(x) P[x])(f(x):j(x)Ùg(x):j(x)f(x)±g(x):j(x) 4. (f(x),g(x),j(x) P[x])(f(x):j(x)f(x)g(x):j(x) 5. (f(x)P[x]) f(x):1 6. (f(x)P[x]) 0:f(x)

7. (f(x):g(x)Ùg(x):f(x)Û(c¹0, deg c=0, cP[x]) f(x)=сg(x)

О6:Многочлен f(x):g(x) (f(x),g(x)P[x], g(х)≠0) с остатком, если существуют h(x), r(x)P[x]: 1) f(x)=g(x)h(x)+r(x); 2) r(x)=0 v deg(r(x))<deg(g(x)), h(x) – неполное частное, r(x) – остаток от деления f(x) на g(x).

Т (о дел-и с остатком ): Для двух мног. f(x) и g(x), одновременно не= 0 (для опр-ти g(x)≠0), сущ-т ед. пара h(x), r(x)P[x], удовл. усл-м 1) и 2) из опр. 6.

О7:Б. говорить, что f(x):g(x), g(х)≠0, если r(x)=0. О8:Мног. S(x)P[x] наз. ОД мног-в f(x),g(x)P[x] если f(x):S(x)Ùg(x):S(x). О9: Мног. d(x)P[x] наз. НОД мног. f(x),g(x) P[x] если 1)d(x) -ОД f(x) и g(x); 2) d(x): ОД S(x).

Алг-м Евклида: Пусть f(x) и g(x) - 2 произв-х мног. и deg f(x)deg g(x).Делим мног. f(x) на мног. g(x), т.е.находим частное h(x) и ост. r(x) от дел. этих мног-в. Делим затем g(x) на r(x) и получ. остаток r1(x); делим r(x) на r1(x) и получ. остаток r2(x); делим r1(x) на r2(x) и т.д. Т. к. степени остатков все время пониж-ся, то в эт. цепочке послед-х делений через конечное число шагов появятся два мног. rn−1(x) и rn(x) таких, что rn−1(x) разделится на rn(x) нацело. Тот остаток rn(x), на кот. нацело делится предыдущ. остаток rn−1(x), и б. НОД многочленов f(x) и g(x).

Свойства наибольшего общего делителя.

1. НОД 2х мног. опр-ся однозначно с точн-ю до ассоциирования; 2. Пусть мног. d(x) – НОД(f(x), g(x)), тогда  мног. φ(x),ψ(x)P[x], такие что f(x)*φ(x)+g(x)*ψ(x)=d(x). 3. Пусть f₁(x), f₂(x),…, f_m(x)P[x],

d₁(x)=НОД(f₁(x), f₂(x));d₂(x)=НОД(f₃(x), d₁(x));

…………

d_n-1(x)=НОД(f_m(x), d_m-2(x)), тогда d_m-1(x)=НОД(f₁(x), f₂(x),…, f_m(x)).

О10: Мног. f(x),g(x)P[x] наз. взаимно-прост., если их НОД = с, где сP\{0}.

О11: Многочлены f(x),g(x)P[x] наз. взаимно-простыми, если их НОД =1

Свойства взаимнопростых мн-нов:

1. Если каждый из мног. f(x),g(x)P[x] взаимно-прост с h(x),r(x)P[x], то f(x)*g(x) – взаимно-просто с h(x); 2. Если произведение мног. f(x)*g(x) – делится на h(x) и f(x),h(x) – взаимно просты, то g(x):h(x);

3. Если НОД(f(x),g(x))=d(x), то НОД(f₁(x), g₁(x))=1, где f(x)=f₁(x)*d(x), g(x)=g₁(x)*d(x).

О12: ОК мног-в f(x),g(x)P[x] наз. мног. m(x)P[x], кот. делится на каждый из этих мног-в. О13: НОК мног. f(x),g(x)P[x] наз. мног.k(x)Р[x], удовл. условиям: 1) k(x) – ОК мног. f(x) и g(x); 2) Любое ОК f(x) и g(x) делится на k(x).

Свойства наименьшего общего кратного:

1. НОК двух мног. опр-ся однозначно с точн-ю до ассоциирования;

2. Пусть f₁(x), f₂(x),…, f_m(x)P[x],

k₁(x)=НОК(f₁(x), f₂(x));k₂(x)=НОК(f₃(x), k₁(x));

………

k_m-1(x)=НОК(f_m(x), k_m-2(x)), тогда k_m-1(x)=НОК(f₁(x), f₂(x),…, f_m(x)).

3. Если f(x) и g(x) – взаимно просты, то НОК(f(x),g(x))=c*f(x)*g(x), где сP\{0}.